Variable aléatoire
Introduction
Découvrez comment associer des nombres aux résultats d'une expérience
Contexte et motivation
Pourquoi les variables aléatoires ?
Imaginons que vous lançiez deux dés et que vous souhaitiez étudier la somme des points obtenus. Les résultats possibles sont des nombres entiers entre 2 et 12. Comment modéliser cette situation ? Comment associer à chaque résultat de l'expérience un nombre ?
Cette association est réalisée par une variable aléatoire.
- Associer des valeurs numériques aux résultats d'une expérience
- Permettre le calcul de grandeurs statistiques (espérance, variance)
- Modéliser des phénomènes aléatoires complexes
- Faciliter l'analyse mathématique des situations probabilistes
Définition d'une variable aléatoire
Concept fondamental
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque éventualité ω ∈ Ω un nombre réel X(ω).
On note X(Ω) l'ensemble des valeurs prises par X.
- Discrètes : prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs
- Continues : prennent des valeurs dans un intervalle de ℝ
Dans ce cours, nous nous concentrerons sur les variables aléatoires discrètes.
Exemple concret
Application numérique
On lance deux dés équilibrés et on observe la somme des points obtenus. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque résultat la somme des deux faces.
1. Déterminer l'univers Ω.
2. Déterminer les valeurs possibles de X.
3. Donner un exemple de calcul de probabilité P(X = k).
2 X(Ω) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3 Exemple : P(X = 7) = P({(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}) = 6/36 = 1/6
Loi de probabilité
Distribution des valeurs
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec les probabilités p₁, p₂, ..., pₙ.
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
| xᵢ | x₁ | x₂ | ... | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | ... | pₙ |
Avec : p₁ + p₂ + ... + pₙ = 1
- Pour tout i : 0 ≤ P(X = xᵢ) ≤ 1
- La somme de toutes les probabilités est égale à 1
Espérance d'une variable aléatoire
Moyenne pondérée
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec les probabilités p₁, p₂, ..., pₙ.
L'espérance de X, notée E(X), est définie par :
L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.
Soit X la variable aléatoire suivante :
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/6 | 1/3 | 1/4 | 1/4 |
E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/3) + 3×(1/4) + 4×(1/4) = 1/6 + 2/3 + 3/4 + 1 = 2/12 + 8/12 + 9/12 + 12/12 = 31/12 ≈ 2.58
Variance et écart-type
Dispersion des valeurs
La variance de X, notée V(X) ou Var(X), mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance :
Une formule équivalente souvent plus pratique :
L'écart-type de X, noté σ(X), est la racine carrée de la variance :
Il s'exprime dans la même unité que X.
Exercice d'application
Problème complet
Un joueur lance un dé équilibré. Si le résultat est 6, il gagne 10€. Si le résultat est 1, 2 ou 3, il perd 2€. Sinon, il ne gagne ni ne perd d'argent.
Soit X la variable aléatoire représentant le gain (positif ou négatif) du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance de X.
3. Interpréter le résultat.
4. Calculer la variance et l'écart-type de X.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Les résultats possibles du dé sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Si le résultat est 6 : gain = 10€ → P(X = 10) = 1/6
- Si le résultat est 1, 2 ou 3 : perte = 2€ → P(X = -2) = 3/6 = 1/2
- Si le résultat est 4 ou 5 : gain = 0€ → P(X = 0) = 2/6 = 1/3
Loi de probabilité de X :
| xᵢ | -2 | 0 | 10 |
|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/2 | 1/3 | 1/6 |
Vérification : 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1 ✓
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
E(X) = (-2) × P(X = -2) + 0 × P(X = 0) + 10 × P(X = 10)
E(X) = (-2) × (1/2) + 0 × (1/3) + 10 × (1/6)
E(X) = -1 + 0 + 10/6 = -1 + 5/3 = -3/3 + 5/3 = 2/3
L'espérance E(X) = 2/3 ≈ 0.67€ signifie que sur un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner en moyenne 0.67€ par partie.
Le jeu est donc favorable au joueur.
On utilise la formule : V(X) = E(X²) - [E(X)]²
E(X²) = (-2)² × (1/2) + 0² × (1/3) + 10² × (1/6)
E(X²) = 4 × (1/2) + 0 + 100 × (1/6) = 2 + 100/6 = 2 + 50/3 = 6/3 + 50/3 = 56/3
V(X) = E(X²) - [E(X)]² = 56/3 - (2/3)² = 56/3 - 4/9 = 168/9 - 4/9 = 164/9
σ(X) = √V(X) = √(164/9) = √164/3 ≈ 4.28/3 ≈ 1.43
Autre exercice
Problème complet
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. Soit X le nombre de boules rouges obtenues.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer E(X) et interpréter.
3. Calculer V(X) et σ(X).
Solution de l'exercice 2
Correction détaillée
En tirant 2 boules parmi 5 (3 rouges, 2 bleues), on peut obtenir :
- 0 boule rouge et 2 boules bleues → X = 0
- 1 boule rouge et 1 boule bleue → X = 1
- 2 boules rouges et 0 boule bleue → X = 2
Donc X(Ω) = {0, 1, 2}
Total des tirages possibles : C(5,2) = 10
P(X = 0) = C(2,2)/C(5,2) = 1/10 (tirer 2 bleues parmi 2)
P(X = 1) = [C(3,1) × C(2,1)]/C(5,2) = (3 × 2)/10 = 6/10 = 3/5
P(X = 2) = C(3,2)/C(5,2) = 3/10 (tirer 2 rouges parmi 3)
Vérification : 1/10 + 3/5 + 3/10 = 1/10 + 6/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓
| xᵢ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/10 | 3/5 | 3/10 |
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) + 2 × P(X = 2)
E(X) = 0 × (1/10) + 1 × (3/5) + 2 × (3/10)
E(X) = 0 + 3/5 + 6/10 = 6/10 + 6/10 = 12/10 = 6/5 = 1.2
Sur un grand nombre de tirages, on peut espérer obtenir en moyenne 1.2 boules rouges par tirage de 2 boules.
E(X²) = 0² × (1/10) + 1² × (3/5) + 2² × (3/10)
E(X²) = 0 + 3/5 + 4 × (3/10) = 3/5 + 12/10 = 6/10 + 12/10 = 18/10 = 9/5
V(X) = E(X²) - [E(X)]² = 9/5 - (6/5)² = 9/5 - 36/25 = 45/25 - 36/25 = 9/25 = 0.36
σ(X) = √V(X) = √(9/25) = 3/5 = 0.6
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Assurance (modélisation des sinistres)
- 2 Finance (analyse de risque, rendement)
- 3 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
- 4 Jeux de hasard (analyse des gains/PERTES)
- 5 Sciences sociales (sondages, enquêtes)
Une compagnie d'assurance modélise le nombre de sinistres annuels d'un client par une variable aléatoire X. Si E(X) = 0.8 et que le coût moyen d'un sinistre est de 1500€, alors le coût espéré par an est de 0.8 × 1500 = 1200€. La prime sera fixée à ce montant majoré d'un coefficient pour couvrir les frais et le profit.
Résumé
Points clés
Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque éventualité d'une expérience aléatoire.
La loi de probabilité de X donne la probabilité de chaque valeur prise par X :
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences