Loi de probabilité et espérance

• Comprendre les distributions de probabilité
• Calculer des grandeurs statistiques
• Prévoir des résultats moyens
• Prendre des décisions éclairées

• Pour tout i : 0 ≤ P(X = xᵢ) ≤ 1
• ∑P(X = xᵢ) = 1 (somme sur toutes les valeurs possibles)
• Elle décrit complètement la distribution de X

1 Les résultats possibles du dé sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 Donc les valeurs de X sont : {2, 4, 6, 8, 10, 12}
3 Comme le dé est équilibré, chaque face a une probabilité de 1/6
4 Donc :

xᵢ	2	4	6	8	10	12
P(X = xᵢ)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

5 Vérification : 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 ✓

L'espérance d'une variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne pondérée des valeurs prises par X par les probabilités associées :

L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.

L'espérance est une mesure de tendance centrale de la distribution de probabilité.

Elle indique la position centrale autour de laquelle les valeurs de X sont distribuées.

Revenons à notre exemple précédent : X prend les valeurs {2, 4, 6, 8, 10, 12} avec une probabilité de 1/6 pour chaque valeur.

E(X) = 2×(1/6) + 4×(1/6) + 6×(1/6) + 8×(1/6) + 10×(1/6) + 12×(1/6)

E(X) = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 6 = 42/6 = 7

• Si a et b sont des constantes réelles : E(aX + b) = aE(X) + b
• Si X et Y sont deux variables aléatoires : E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• Pour des constantes a, b et des variables X, Y : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

• 1 Assurance (calcul de primes)
• 2 Finance (rendement espéré d'investissements)
• 3 Jeux (gain moyen)
• 4 Qualité industrielle (nombre moyen de défauts)
• 5 Marketing (nombre moyen d'achats)

Considérons le jeu du début : gain de 10€ si 6, perte de 2€ si 1, 2 ou 3, rien sinon.

X = 10 avec P = 1/6, X = -2 avec P = 3/6 = 1/2, X = 0 avec P = 2/6 = 1/3

E(X) = 10×(1/6) + (-2)×(1/2) + 0×(1/3) = 10/6 - 1 + 0 = 5/3 - 1 = 2/3 ≈ 0.67€

Le jeu est favorable au joueur car l'espérance est positive.

On peut obtenir 0, 1 ou 2 boules rouges, donc X(Ω) = {0, 1, 2}.

Total des tirages possibles : C(5,2) = 10

• P(X = 0) = C(2,2)/C(5,2) = 1/10 (tirer 2 bleues)
• P(X = 1) = [C(3,1) × C(2,1)]/C(5,2) = (3 × 2)/10 = 6/10 = 3/5 (1 rouge et 1 bleue)
• P(X = 2) = C(3,2)/C(5,2) = 3/10 (2 rouges)

Tableau de la loi de X :

xᵢ	0	1	2
P(X = xᵢ)	1/10	3/5	3/10

Vérification : 1/10 + 3/5 + 3/10 = 1/10 + 6/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓

E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) + 2 × P(X = 2)

E(X) = 0 × (1/10) + 1 × (3/5) + 2 × (3/10)

E(X) = 0 + 3/5 + 6/10

E(X) = 6/10 + 6/10 = 12/10 = 6/5 = 1.2

Sur un grand nombre de tirages de 2 boules, on peut espérer obtenir en moyenne 1.2 boules rouges par tirage.

Cela signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de boules rouges par tirage tend vers 1.2.

Nombre total de résultats possibles : 6 × 6 = 36

Somme égale à 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas → P(G = 5) = 6/36 = 1/6

Somme égale à 12 : (6,6) → 1 cas → P(G = 10) = 1/36

Autres sommes : 36 - 6 - 1 = 29 cas → P(G = -2) = 29/36

Loi de probabilité de G :

gᵢ	-2	5	10
P(G = gᵢ)	29/36	1/6	1/36

E(G) = (-2) × P(G = -2) + 5 × P(G = 5) + 10 × P(G = 10)

E(G) = (-2) × (29/36) + 5 × (1/6) + 10 × (1/36)

E(G) = -58/36 + 5/6 + 10/36

E(G) = -58/36 + 30/36 + 10/36 = -18/36 = -1/2 = -0.5

Comme E(G) = -0.5 < 0, le jeu n'est pas favorable au joueur.

Sur un grand nombre de parties, le joueur peut s'attendre à perdre en moyenne 0.50€ par partie.

Le jeu est donc défavorable au joueur.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire X associe à chaque valeur xᵢ prise par X la probabilité P(X = xᵢ).

Elle est souvent présentée sous forme de tableau.

La somme de toutes les probabilités est égale à 1.

L'espérance de X est : E(X) = ∑xᵢ × P(X = xᵢ)

Elle représente la valeur moyenne attendue de X sur un grand nombre de répétitions.

Si E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur.

Si E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur.

Si E(X) = 0, le jeu est équitable.