Loi de probabilité : Tableau qui associe à chaque valeur xᵢ prise par une variable aléatoire X sa probabilité P(X = xᵢ). La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1.
- Identifier toutes les valeurs possibles de X
- Déterminer la probabilité de chaque valeur
- Présenter la loi sous forme de tableau
- Calculer l'espérance avec la formule E(X) = ∑ xᵢ·P(X=xᵢ)
Le dé peut tomber sur 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Donc X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Le dé est équilibré, donc chaque face a la même probabilité
\(P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = \frac{1}{6}\)
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X=xᵢ) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
\(E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i)\)
\(E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\)
\(E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\)
Loi de X : P(X=i) = 1/6 pour i ∈ {1,2,3,4,5,6}. Espérance = 3.5
• Loi uniforme : Toutes les valeurs ont la même probabilité
• Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
• Vérification : \(\sum P(X=x_i) = 1\)
Espérance mathématique : Moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire, où les poids sont les probabilités associées. C'est une mesure de tendance centrale.
- Vérifier que la loi est bien définie (somme des probas = 1)
- Appliquer la formule de l'espérance
- Interpréter le résultat
\(P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) = 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1\) ✓
\(E(Y) = \sum y_i \cdot P(Y = y_i)\)
\(E(Y) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.5\)
\(E(Y) = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3\)
Sur un très grand nombre d'expériences, la valeur moyenne de Y sera proche de 2.3
La loi est bien définie. L'espérance de Y est 2.3. Sur un grand nombre d'expériences, la moyenne des valeurs de Y sera environ 2.3.
• Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
• Interprétation : Valeur moyenne théorique sur un grand nombre d'expériences
• Loi valide : \(\sum P(X=x_i) = 1\)
Gain aléatoire : Variable aléatoire représentant le montant gagné ou perdu dans un jeu de hasard. L'espérance permet d'évaluer la rentabilité du jeu.
- Identifier les événements et les gains associés
- Calculer la probabilité de chaque gain
- Déterminer la loi de probabilité
- Calculer l'espérance pour évaluer le jeu
Jeu de 32 cartes : 4 As, 12 figures (Valet, Dame, Roi), 16 autres cartes
Z = gain en euros
• Tirer un As : gain = 10€
• Tirer une figure : gain = 5€
• Tirer une autre carte : gain = 0€
\(P(Z = 10) = P(\text{As}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
\(P(Z = 5) = P(\text{Figure}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}\)
\(P(Z = 0) = P(\text{Autre}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}\)
\(E(Z) = 10 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{1}{2}\)
\(E(Z) = \frac{10}{8} + \frac{15}{8} + 0 = \frac{25}{8} = 3.125\)
Loi de Z : P(Z=10)=1/8, P(Z=5)=3/8, P(Z=0)=1/2. Espérance = 3.125€.
• Probabilité : \(\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Espérance positive : Jeu favorable au joueur
• Gain moyen : Valeur attendue sur un grand nombre de parties
Gain net : Différence entre le gain reçu et le coût de participation. Un jeu est favorable si l'espérance du gain net est positive.
- Déterminer le gain net pour chaque issue possible
- Calculer la probabilité de chaque gain net
- Calculer l'espérance du gain net
- Conclure sur la rentabilité du jeu
Coût de participation : 3€
• Tirer rouge (1/4) : gain = 10€, gain net = 10 - 3 = 7€
• Tirer verte (1/4) : gain = 5€, gain net = 5 - 3 = 2€
• Tirer autre (1/2) : gain = 0€, gain net = 0 - 3 = -3€
\(P(\text{gain net} = 7) = \frac{1}{4}\)
\(P(\text{gain net} = 2) = \frac{1}{4}\)
\(P(\text{gain net} = -3) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(E(\text{gain net}) = 7 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{2}\)
\(E(\text{gain net}) = \frac{7}{4} + \frac{2}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4} = 0.75\)
\(E(\text{gain net}) = 0.75 > 0\)
Le jeu est favorable au joueur car l'espérance est positive.
Le gain net moyen est de 0.75€ par partie. Le jeu est favorable au joueur.
• Gain net : Gain reçu - coût de participation
• Jeu favorable : \(E(\text{gain net}) > 0\)
• Jeu défavorable : \(E(\text{gain net}) < 0\)
Linéarité de l'espérance : Pour tous réels a et b, \(E(aX + b) = aE(X) + b\). Cette propriété est fondamentale pour les calculs avec des transformations linéaires de variables aléatoires.
- Vérifier que la loi est bien définie
- Calculer E(X) avec la formule de base
- Utiliser la linéarité pour calculer E(2X+1)
- Calculer E(X²) avec la formule adaptée
\(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.1 + 0.4 + 0.3 + 0.2 = 1\) ✓
\(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\)
\(E(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.2\)
\(E(X) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 = 1.6\)
Utilisation de la linéarité de l'espérance : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
\(E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2 \cdot 1.6 + 1 = 3.2 + 1 = 4.2\)
\(E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)\)
\(E(X^2) = 0^2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.2\)
\(E(X^2) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4\)
E(X) = 1.6, E(2X+1) = 4.2, E(X²) = 3.4
• Linéarité : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
• Espérance de X² : \(E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)\)
• Propriété fondamentale : L'espérance est linéaire
- Loi de probabilité : Tableau des valeurs et probabilités
- Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
- Espérance de X² : \(E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)\)
- Linéarité : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
- \(\sum P(X = x_i) = 1\) pour toute loi de probabilité
- \(E(X) \in [x_{\min}, x_{\max}]\) si X est bornée
- \(E(aX + b) = aE(X) + b\) pour tous réels a, b
- \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\) (linéarité)
- Si E(gain net) > 0, le jeu est favorable au joueur
