Loi de probabilité
Définition:
\( \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1 \)
\( \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1 \)
Espérance:
\( E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X = x_i) \)
\( E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X = x_i) \)
Exemple :
X: gain d'un jeu
P(X=-2)=0.3, P(X=0)=0.5, P(X=3)=0.2
E(X) = -2×0.3 + 0×0.5 + 3×0.2 = 0
Le jeu est équitable
P(X=-2)=0.3, P(X=0)=0.5, P(X=3)=0.2
E(X) = -2×0.3 + 0×0.5 + 3×0.2 = 0
Le jeu est équitable
Propriétés de l'espérance
Linéarité: E(aX + b) = aE(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Si X ≥ 0, alors E(X) ≥ 0
E(c) = c (c constante)
Interprétation
Espérance: Moyenne pondérée des valeurs
Loi: Distribution des probabilités
Équitable: E(X) = 0
Favorable: E(X) > 0
Méthodes & Conseils
Identifier toutes les valeurs possibles de X
Calculer P(X = x) pour chaque valeur x
Vérifier que la somme des probabilités = 1
Appliquer la formule de l'espérance
Interpréter le résultat (équitable, favorable, défavorable)
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que la somme des probabilités = 1
Erreur 2 :
Confondre P(X = x) et x
Erreur 3 :
Oublier de multiplier par les valeurs dans l'espérance
Erreur 4 :
Confondre espérance et valeur la plus probable
Applications concrètes
Jeu de hasard: Gain moyen à long terme
Investissement: Rendement espéré
Assurance: Prime basée sur risque moyen
Production: Quantité moyenne produite
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Jet d'un dé équilibré
X = résultat du dé
P(X=k) = 1/6 pour k=1,2,3,4,5,6
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
X = résultat du dé
P(X=k) = 1/6 pour k=1,2,3,4,5,6
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
Exemple 2 :
Loterie: 100 billets, 1 gagnant 50€, 99 perdants
X = gain net (prix du billet = 2€)
P(X=48)=1/100, P(X=-2)=99/100
E(X) = 48×1/100 + (-2)×99/100 = -1.5€
X = gain net (prix du billet = 2€)
P(X=48)=1/100, P(X=-2)=99/100
E(X) = 48×1/100 + (-2)×99/100 = -1.5€
