Formules fondamentales
Variance:
\( V(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} p_i(x_i - E(X))^2 \)
\( V(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} p_i(x_i - E(X))^2 \)
Écart-type:
\( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \)
\( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \)
Exemple :
X: {1, 2, 3} avec P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=3)=0.3
E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 2.1
V(X) = 0.2(1-2.1)² + 0.5(2-2.1)² + 0.3(3-2.1)² = 0.49
σ(X) = √0.49 = 0.7
E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 2.1
V(X) = 0.2(1-2.1)² + 0.5(2-2.1)² + 0.3(3-2.1)² = 0.49
σ(X) = √0.49 = 0.7
Formule alternative
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
E(X²) = Σ pᵢxᵢ²
V(aX + b) = a²V(X)
σ(aX + b) = |a|σ(X)
Interprétation
Variance: Dispersion autour de l'espérance
Écart-type: Moyenne quadratique des écarts
V(X) = 0: X est constante
V(X) ≥ 0: Toujours positif ou nul
Méthodes & Conseils
Calculer d'abord l'espérance E(X)
Utiliser la formule V(X) = E(X²) - [E(X)]²
Calculer E(X²) séparément
Vérifier que V(X) ≥ 0
Interpréter σ(X) en unité de la variable
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de soustraire [E(X)]² dans la formule alternative
Erreur 2 :
Confondre variance et écart-type
Erreur 3 :
Oublier de prendre la racine carrée pour l'écart-type
Erreur 4 :
Ne pas respecter les propriétés linéaires
Applications concrètes
Risque financier: Mesure de volatilité
Qualité: Contrôle de la dispersion
Jeux: Évaluation du risque associé
Échantillonnage: Précision des estimations
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Jet d'un dé équilibré: X = résultat
E(X) = 3.5, E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15.17
V(X) = 15.17 - (3.5)² = 2.92
σ(X) = √2.92 ≈ 1.71
E(X) = 3.5, E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15.17
V(X) = 15.17 - (3.5)² = 2.92
σ(X) = √2.92 ≈ 1.71
Exemple 2 :
Y = 2X + 1, où X est le dé
V(Y) = 2²V(X) = 4×2.92 = 11.67
σ(Y) = 2σ(X) = 2×1.71 = 3.42
V(Y) = 2²V(X) = 4×2.92 = 11.67
σ(Y) = 2σ(X) = 2×1.71 = 3.42
