Variance et écart-type

• Comprendre la répartition des données
• Comparer des séries statistiques
• Évaluer la fiabilité d'une moyenne
• Identifier les valeurs aberrantes

• La variance est toujours positive ou nulle
• Plus la variance est grande, plus la dispersion est importante
• La variance s'exprime en unité carrée
• La variance est sensible aux valeurs extrêmes

L'écart-type, noté σ(X), est la racine carrée de la variance :

Il s'exprime dans la même unité que les valeurs de la série.

• Il est toujours positif ou nul
• Il est exprimé dans la même unité que les données
• Il est sensible aux valeurs extrêmes
• Plus il est grand, plus la dispersion est importante

Nous avons trouvé une variance de 8 pour la série 5, 7, 9, 11, 13.

L'écart-type est donc : \(\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83\)

Cela signifie que les valeurs sont en moyenne à environ 2.83 unités de la moyenne (9).

Il existe une formule équivalente pour le calcul de la variance :

Où \(\overline{x^2}\) est la moyenne des carrés des valeurs.

• 1 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
• 2 Finance (analyse de risque)
• 3 Sciences humaines (analyse de comportement)
• 4 Recherche médicale (analyse de données)
• 5 Marketing (analyse de satisfaction client)

Une usine produit des pièces dont la longueur moyenne est de 10 cm. Si l'écart-type est de 0.1 cm, cela signifie que la plupart des pièces ont une longueur comprise entre 9.7 cm et 10.3 cm (environ 99.7% des pièces selon la loi normale).

Un écart-type plus faible indique une meilleure précision de fabrication.

\(\bar{x} = \frac{8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 15 + 15 + 16 + 17}{20}\)

\(\bar{x} = \frac{248}{20} = 12.4\)

Calculons les carrés des écarts à la moyenne :

(8-12.4)² = (-4.4)² = 19.36

(9-12.4)² = (-3.4)² = 11.56

(10-12.4)² = (-2.4)² = 5.76 (×2 car 2 occurrences)

(11-12.4)² = (-1.4)² = 1.96 (×3 car 3 occurrences)

(12-12.4)² = (-0.4)² = 0.16 (×4 car 4 occurrences)

(13-12.4)² = (0.6)² = 0.36 (×3 car 3 occurrences)

(14-12.4)² = (1.6)² = 2.56 (×2 car 2 occurrences)

(15-12.4)² = (2.6)² = 6.76 (×2 car 2 occurrences)

(16-12.4)² = (3.6)² = 12.96

(17-12.4)² = (4.6)² = 21.16

Somme des carrés pondérés : 19.36 + 11.56 + 11.52 + 5.88 + 0.64 + 1.08 + 5.12 + 13.52 + 12.96 + 21.16 = 102.8

\(V = \frac{102.8}{20} = 5.14\)

\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{5.14} \approx 2.27\)

La moyenne des notes est de 12.4/20, ce qui est une bonne moyenne.

L'écart-type est de 2.27, ce qui indique une dispersion modérée des notes autour de la moyenne.

Environ 68% des élèves ont une note comprise entre 10.13 et 14.67 (moyenne ± 1 écart-type).

Environ 95% des élèves ont une note comprise entre 7.86 et 16.94 (moyenne ± 2 écart-types).

Centres de classe : 9.9, 10.1, 10.3, 10.5

\(\bar{x} = \frac{10×9.9 + 30×10.1 + 40×10.3 + 20×10.5}{100}\)

\(\bar{x} = \frac{99 + 303 + 412 + 210}{100} = \frac{1024}{100} = 10.24\)

\(V = \frac{1}{n}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2\)

\(V = \frac{1}{100}[10×(9.9-10.24)^2 + 30×(10.1-10.24)^2 + 40×(10.3-10.24)^2 + 20×(10.5-10.24)^2]\)

\(V = \frac{1}{100}[10×0.1156 + 30×0.0196 + 40×0.0036 + 20×0.0676]\)

\(V = \frac{1}{100}[1.156 + 0.588 + 0.144 + 1.352] = \frac{3.24}{100} = 0.0324\)

\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{0.0324} = 0.18\)

Interprétation : les longueurs des pièces varient en moyenne de 0.18 cm autour de la moyenne de 10.24 cm.

Cela indique une bonne précision de fabrication, avec un écart-type relativement faible par rapport à la moyenne.

Un écart-type de 0.18 cm sur une moyenne de 10.24 cm représente une variation relative de 1.76%.

Cela indique une fabrication de haute qualité avec peu de dispersion.

La majorité des pièces (environ 68%) ont une longueur comprise entre 10.06 cm et 10.42 cm.

Soit Y = aX + b où a et b sont des constantes réelles.

Alors :

• \(V(Y) = a^2 \times V(X)\)
• \(\sigma(Y) = |a| \times \sigma(X)\)

Ces propriétés sont utiles pour les changements d'unités ou de repères.

Pour toute variable aléatoire X avec espérance μ et écart-type σ, la probabilité que X s'éloigne de μ de plus de k fois l'écart-type est bornée :

Cette inégalité permet d'estimer la concentration des valeurs autour de la moyenne.

\(V(X) = \frac{1}{n}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2\) ou \(V(X) = \sum f_i(x_i - \bar{x})^2\)

Ou \(V(X) = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\)

\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)

Il s'exprime dans la même unité que les données.

La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

Un écart-type faible indique une concentration des valeurs autour de la moyenne.

Un écart-type élevé indique une grande dispersion des valeurs.