Loi binomiale
Introduction
Découvrez la loi fondamentale des expériences répétées
Contexte et motivation
Pourquoi cette loi ?
Imaginons que vous lançiez un dé équilibré 10 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois le chiffre 6 ?
Ou encore : dans une usine, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de 5%. Si on prélève 20 pièces, quelle est la probabilité qu'exactement 2 soient défectueuses ?
Ces situations correspondent à des répétitions indépendantes d'une expérience à deux issues (succès/échec).
- Modélise de nombreuses situations réelles
- Permet de calculer des probabilités de manière efficace
- Base pour d'autres lois statistiques
- Essentielle en statistique inférentielle
Schéma de Bernoulli
Concept fondamental
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (avec probabilité p) et échec (avec probabilité 1-p).
- Les épreuves sont identiques
- Les épreuves sont indépendantes
- Chaque épreuve a deux issues possibles
- La probabilité de succès est constante
Définition de la loi binomiale
Variable aléatoire
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Pour k succès parmi n épreuves : \(P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
- \(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir k succès parmi n épreuves
- \(p^k\) : probabilité d'avoir k succès
- \((1-p)^{n-k}\) : probabilité d'avoir n-k échecs
Propriétés de la loi binomiale
Paramètres
Si X suit la loi binomiale B(n, p), alors :
L'espérance représente le nombre moyen de succès attendu.
La variance est :
L'écart-type est :
Exemple concret
Application numérique
On lance un dé équilibré 5 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 ?
Soit X le nombre de fois où on obtient 6. X suit la loi B(5, 1/6).
\(P(X = 2) = \binom{5}{2} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3\)
\(P(X = 2) = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0.161\)
E(X) = n × p = 5 × (1/6) = 5/6 ≈ 0.83
Sur un grand nombre de séries de 5 lancers, on obtiendra en moyenne 0.83 fois le chiffre 6.
Coefficient binomial
Calcul des combinaisons
Le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) (lu "k parmi n") représente le nombre de façons de choisir k objets parmi n objets distincts.
Par convention : \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
- \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) (symétrie)
- \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\) (relation de Pascal)
- \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\) (formule du binôme)
Exercice d'application
Problème complet
Dans une entreprise, 20% des employés portent des lunettes. On sélectionne 8 employés au hasard.
Soit X le nombre d'employés portant des lunettes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'exactement 3 employés portent des lunettes.
3. Calculer la probabilité qu'au plus 2 employés portent des lunettes.
4. Calculer l'espérance de X et interpréter.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
On répète 8 fois de manière indépendante une expérience à deux issues :
- Succès : "porter des lunettes" avec p = 0.2
- Échec : "ne pas porter de lunettes" avec 1-p = 0.8
Donc X suit la loi binomiale B(8, 0.2).
\(P(X = 3) = \binom{8}{3} \times (0.2)^3 \times (0.8)^5\)
\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)
\(P(X = 3) = 56 \times 0.008 \times 0.32768 = 56 \times 0.00262144 = 0.1468\)
Suite de la solution
Correction (suite)
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\(P(X = 0) = \binom{8}{0} \times (0.2)^0 \times (0.8)^8 = 1 \times 1 \times 0.16777216 = 0.1678\)
\(P(X = 1) = \binom{8}{1} \times (0.2)^1 \times (0.8)^7 = 8 \times 0.2 \times 0.2097152 = 0.3355\)
\(P(X = 2) = \binom{8}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^6 = 28 \times 0.04 \times 0.262144 = 0.2936\)
P(X ≤ 2) = 0.1678 + 0.3355 + 0.2936 = 0.7969
E(X) = n × p = 8 × 0.2 = 1.6
Sur un grand nombre de groupes de 8 employés, on peut s'attendre à ce que 1.6 employés portent des lunettes en moyenne.
Deuxième exercice
Problème complet
Une usine fabrique des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est de 0.05. On prélève 100 composants au hasard.
Soit Y le nombre de composants défectueux.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 5 composants défectueux.
3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 3 composants défectueux.
4. Calculer l'espérance et l'écart-type de Y.
Solution du deuxième exercice
Correction détaillée
On répète 100 fois de manière indépendante une expérience à deux issues :
- Succès : "être défectueux" avec p = 0.05
- Échec : "être conforme" avec 1-p = 0.95
Donc Y suit la loi binomiale B(100, 0.05).
\(P(Y = 5) = \binom{100}{5} \times (0.05)^5 \times (0.95)^{95}\)
\(\binom{100}{5} = \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times 96}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 75287520\)
\(P(Y = 5) = 75287520 \times (0.05)^5 \times (0.95)^{95} \approx 0.1800\)
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
P(Y ≥ 3) = 1 - P(Y < 3) = 1 - [P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)]
\(P(Y = 0) = \binom{100}{0} \times (0.05)^0 \times (0.95)^{100} = 1 \times 1 \times (0.95)^{100} \approx 0.0059\)
\(P(Y = 1) = \binom{100}{1} \times (0.05)^1 \times (0.95)^{99} = 100 \times 0.05 \times (0.95)^{99} \approx 0.0312\)
\(P(Y = 2) = \binom{100}{2} \times (0.05)^2 \times (0.95)^{98} = 4950 \times 0.0025 \times (0.95)^{98} \approx 0.0812\)
P(Y ≥ 3) = 1 - (0.0059 + 0.0312 + 0.0812) = 1 - 0.1183 = 0.8817
E(Y) = n × p = 100 × 0.05 = 5
V(Y) = n × p × (1-p) = 100 × 0.05 × 0.95 = 4.75
σ(Y) = √V(Y) = √4.75 ≈ 2.18
Sur un grand nombre de lots de 100 composants, on s'attend à avoir en moyenne 5 composants défectueux, avec un écart-type de 2.18.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Contrôle de qualité (production industrielle)
- 2 Marketing (taux de réponse aux campagnes)
- 3 Médecine (tests de dépistage)
- 4 Finance (analyse de risque)
- 5 Sciences sociales (sondages d'opinion)
Un test de dépistage a une sensibilité de 95% et une spécificité de 90%. Si 5% de la population est malade, et qu'on teste 100 personnes, on peut modéliser le nombre de tests positifs par une loi binomiale. Cela permet de calculer la probabilité d'avoir un certain nombre de résultats positifs, et d'interpréter les résultats du test.
Résumé
Points clés
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n, p) si :
- X compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes
- Chaque épreuve a une probabilité p de succès
- P(X = k) = \(\binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
- Espérance : E(X) = n × p
- Variance : V(X) = n × p × (1-p)
- Écart-type : σ(X) = √[n × p × (1-p)]
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences