Loi binomiale
\( X \sim B(n, p) \)
Loi binomiale avec n épreuves et probabilité p
\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
Probabilité d'avoir exactement k succès
Exemple :
Lancer 5 fois une pièce équilibrée :
n=5, p=0.5, X = nombre de piles
P(X=3) = C(5,3) × (0.5)³ × (0.5)²
n=5, p=0.5, X = nombre de piles
P(X=3) = C(5,3) × (0.5)³ × (0.5)²
Définition & Conditions
Suite de n épreuves de Bernoulli identiques
Épreuves indépendantes
Deux issues possibles : succès/échec
Probabilité de succès p constante
Paramètres
n
Nombre d'épreuves
p
Probabilité de succès
k
Nombre de succès
Coefficient binomial
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Formules importantes
Espérance : \( E(X) = np \)
Variance : \( V(X) = np(1-p) \)
Écart-type : \( \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} \)
Conseils & Astuces
Identifier les épreuves de Bernoulli
Vérifier l'indépendance des épreuves
Reconnaître succès vs échec
Calculer E(X) et V(X) rapidement
Utiliser la calculatrice pour les coefficients
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier l'indépendance
Erreur 2 :
Confondre n et k dans la formule
Erreur 3 :
Calculer mal les coefficients binomiaux
Exemples détaillés
Exemple 1 : Tirage avec remise
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues.
On tire 4 fois avec remise. Soit X le nb de boules rouges.
X ~ B(4 ; 3/5)
P(X=2) = C(4,2) × (3/5)² × (2/5)² = 6 × 9/25 × 4/25 = 216/625
On tire 4 fois avec remise. Soit X le nb de boules rouges.
X ~ B(4 ; 3/5)
P(X=2) = C(4,2) × (3/5)² × (2/5)² = 6 × 9/25 × 4/25 = 216/625
Exemple 2 : Sondage
60% des électeurs votent pour A.
On interroge 10 personnes. X = nb de votants pour A.
X ~ B(10 ; 0.6)
E(X) = 10 × 0.6 = 6, V(X) = 10 × 0.6 × 0.4 = 2.4
On interroge 10 personnes. X = nb de votants pour A.
X ~ B(10 ; 0.6)
E(X) = 10 × 0.6 = 6, V(X) = 10 × 0.6 × 0.4 = 2.4
Exemple 3 : Tests qualité
5% des pièces sont défectueuses.
On prélève 20 pièces. X = nb de pièces défectueuses.
X ~ B(20 ; 0.05)
P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0.95)²⁰ ≈ 0.64
On prélève 20 pièces. X = nb de pièces défectueuses.
X ~ B(20 ; 0.05)
P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0.95)²⁰ ≈ 0.64
