Loi binomiale : Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n expériences identiques et indépendantes, chacune ayant la probabilité p de succès.
- Identifier qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli
- Déterminer les paramètres n (nombre d'expériences) et p (probabilité de succès)
- Appliquer la formule : \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
- Calculer les coefficients binomiaux et les puissances
• On répète l'expérience "lancer un dé" 5 fois : n = 5
• "Succès" = obtenir 6, donc p = 1/6
• X = nombre de succès, donc X ~ B(5, 1/6)
\(P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{5-2}\)
\(P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
\(\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}\)
\(\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}\)
\(P(X = 2) = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}\)
\(P(X = 2) \approx 0.1608\)
La probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 en 5 lancers est d'environ 0.1608 ou 16.08%
• Loi binomiale : X ~ B(n,p) avec P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
• Coefficient binomial : C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
• Conditions : Expériences identiques, indépendantes, 2 issues possibles
Paramètres d'une loi binomiale : Si X ~ B(n,p), alors E(X) = np et V(X) = np(1-p). L'écart-type est σ(X) = √[np(1-p)].
- Identifier les paramètres n et p de la loi binomiale
- Appliquer les formules : E(X) = np et V(X) = np(1-p)
- Calculer l'écart-type : σ(X) = √V(X)
• On répète l'expérience "lancer la pièce" 10 fois : n = 10
• "Succès" = obtenir pile, donc p = 0.6
• Y = nombre de succès, donc Y ~ B(10, 0.6)
\(E(Y) = np = 10 \times 0.6 = 6\)
\(V(Y) = np(1-p) = 10 \times 0.6 \times (1-0.6)\)
\(V(Y) = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4\)
\(\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{2.4} \approx 1.55\)
L'espérance est 6 et la variance est 2.4. En moyenne, on obtient 6 piles en 10 lancers.
• Espérance : E(X) = np
• Variance : V(X) = np(1-p)
• Écart-type : σ(X) = √[np(1-p)]
Probabilité cumulative : P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k). Cela représente la probabilité d'avoir au plus k succès.
- Identifier les paramètres n et p
- Calculer P(Z ≤ 2) = P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)
- Appliquer la formule de la loi binomiale pour chaque terme
- Effectuer les calculs pour chaque probabilité
• On prélève 20 composants : n = 20
• Probabilité qu'un composant soit défectueux : p = 0.05
• Z = nombre de composants défectueux, donc Z ~ B(20, 0.05)
\(P(Z \leq 2) = P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)\)
\(P(Z = 0) = \binom{20}{0} (0.05)^0 (0.95)^{20} = 1 \times 1 \times (0.95)^{20}\)
\(P(Z = 0) = (0.95)^{20} \approx 0.3585\)
\(P(Z = 1) = \binom{20}{1} (0.05)^1 (0.95)^{19} = 20 \times 0.05 \times (0.95)^{19}\)
\(P(Z = 1) = 1 \times (0.95)^{19} \approx 20 \times 0.05 \times 0.3774 \approx 0.3774\)
\(P(Z = 2) = \binom{20}{2} (0.05)^2 (0.95)^{18}\)
\(\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190\)
\(P(Z = 2) = 190 \times (0.05)^2 \times (0.95)^{18} \approx 190 \times 0.0025 \times 0.3972 \approx 0.1886\)
\(P(Z \leq 2) = 0.3585 + 0.3774 + 0.1886 = 0.9245\)
La probabilité d'avoir au plus 2 composants défectueux est d'environ 0.9245 ou 92.45%
• Probabilité cumulative : P(X ≤ k) = Σ P(X = i) pour i de 0 à k
• Loi binomiale : P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
• Coefficient binomial : C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
Probabilité complémentaire : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Cela permet de simplifier les calculs lorsque l'événement contraire est plus simple à calculer.
- Identifier les paramètres n et p
- Calculer P(W ≥ 6) = 1 - P(W ≤ 5)
- Calculer P(W ≤ 5) = P(W = 0) + P(W = 1) + ... + P(W = 5)
- Utiliser la formule de la loi binomiale pour chaque terme
• Le candidat passe 8 épreuves : n = 8
• Probabilité de réussir chaque épreuve : p = 0.7
• W = nombre de réussites, donc W ~ B(8, 0.7)
\(P(W \geq 6) = 1 - P(W \leq 5) = 1 - [P(W = 0) + P(W = 1) + ... + P(W = 5)]\)
\(P(W = 6) = \binom{8}{6} (0.7)^6 (0.3)^2\)
\(\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\)
\(P(W = 6) = 28 \times (0.7)^6 \times (0.3)^2 = 28 \times 0.117649 \times 0.09 \approx 0.2965\)
\(P(W = 7) = \binom{8}{7} (0.7)^7 (0.3)^1 = 8 \times (0.7)^7 \times 0.3\)
\(P(W = 7) = 8 \times 0.0823543 \times 0.3 \approx 0.1977\)
\(P(W = 8) = \binom{8}{8} (0.7)^8 (0.3)^0 = 1 \times (0.7)^8 \times 1\)
\(P(W = 8) = (0.7)^8 \approx 0.0576\)
\(P(W \geq 6) = P(W = 6) + P(W = 7) + P(W = 8)\)
\(P(W \geq 6) = 0.2965 + 0.1977 + 0.0576 = 0.5518\)
La probabilité de réussir au moins 6 épreuves est d'environ 0.5518 ou 55.18%
• Probabilité complémentaire : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)
• Loi binomiale : P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
• Symétrie : C(n,k) = C(n,n-k)
Paramètres d'une loi binomiale : Si X ~ B(n,p), alors E(X) = np, V(X) = np(1-p) et σ(X) = √[np(1-p)]. Ces paramètres résument la distribution.
- Utiliser directement les formules des paramètres pour E(X), V(X) et σ(X)
- Calculer P(X = 5) avec la formule de la loi binomiale
- Appliquer les formules : E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ(X) = √V(X)
\(P(X = 5) = \binom{15}{5} (0.4)^5 (0.6)^{10}\)
\(\binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \times 10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003\)
\(P(X = 5) = 3003 \times (0.4)^5 \times (0.6)^{10}\)
\(P(X = 5) = 3003 \times 0.01024 \times 0.0060466176 \approx 0.1859\)
\(E(X) = np = 15 \times 0.4 = 6\)
\(V(X) = np(1-p) = 15 \times 0.4 \times (1-0.4)\)
\(V(X) = 15 \times 0.4 \times 0.6 = 3.6\)
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{3.6} \approx 1.897\)
P(X=5) ≈ 0.1859, E(X) = 6, V(X) = 3.6, σ(X) ≈ 1.897
• Loi binomiale : X ~ B(n,p)
• Espérance : E(X) = np
• Variance : V(X) = np(1-p)
• Écart-type : σ(X) = √[np(1-p)]
- Loi binomiale : \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
- Espérance : \(E(X) = np\)
- Variance : \(V(X) = np(1-p)\)
- Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\)
- Un schéma de Bernoulli : n expériences identiques
- Chaque expérience a deux issues possibles (succès/échec)
- Les expériences sont indépendantes les unes des autres
- La probabilité de succès p est constante pour chaque expérience
- X compte le nombre de succès obtenus sur les n expériences
