Intervalle de fluctuation : C'est l'intervalle dans lequel la fréquence observée dans un échantillon de taille n a 95% de chances de se trouver, si la proportion dans la population est p. Pour n ≥ 25 et 0.2 ≤ p ≤ 0.8, on utilise : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
- Identifier les paramètres : p (proportion théorique) et n (taille de l'échantillon)
- Vérifier les conditions d'application : n ≥ 25 et 0.2 ≤ p ≤ 0.8
- Appliquer la formule : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
- Interpréter l'intervalle comme la plage de variation normale de la fréquence
• Proportion dans la population : p = 0.3
• Taille de l'échantillon : n = 100
• n = 100 ≥ 25 ✓
• p = 0.3 ∈ [0.2, 0.8] ✓
Borne inférieure : \(p - \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.3 - \frac{1}{\sqrt{100}} = 0.3 - \frac{1}{10} = 0.3 - 0.1 = 0.2\)
Borne supérieure : \(p + \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.3 + \frac{1}{\sqrt{100}} = 0.3 + \frac{1}{10} = 0.3 + 0.1 = 0.4\)
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est [0.2 ; 0.4]
L'intervalle de fluctuation est [0.2 ; 0.4]. Pour un échantillon de 100 personnes, on s'attend à observer entre 20 et 40 fumeurs avec une probabilité de 95%.
• Conditions d'application : n ≥ 25 et 0.2 ≤ p ≤ 0.8
• Formule : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
• Interprétation : Plage de variation normale de la fréquence observée
Test d'hypothèse : On compare la fréquence observée dans un échantillon avec une proportion théorique. Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothèse. Sinon, on la rejette.
- Identifier la proportion théorique p et la taille de l'échantillon n
- Calculer la fréquence observée : \(\hat{p} = \frac{\text{nombre d'individus avec le caractère}}{n}\)
- Déterminer l'intervalle de fluctuation
- Comparer la fréquence observée avec l'intervalle
- Conclure sur la validité de l'affirmation
• Proportion affirmée : p = 0.6
• Taille de l'échantillon : n = 1000
• Nombre d'intentions de vote observé : 580
\(\hat{p} = \frac{580}{1000} = 0.58\)
• n = 1000 ≥ 25 ✓
• p = 0.6 ∈ [0.2, 0.8] ✓
Borne inférieure : \(0.6 - \frac{1}{\sqrt{1000}} = 0.6 - \frac{1}{31.62} \approx 0.6 - 0.0316 = 0.5684\)
Borne supérieure : \(0.6 + \frac{1}{\sqrt{1000}} = 0.6 + 0.0316 = 0.6316\)
Intervalle de fluctuation : [0.5684 ; 0.6316]
Fréquence observée : \(\hat{p} = 0.58\)
0.5684 ≤ 0.58 ≤ 0.6316 ✓
La fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, donc l'affirmation du candidat est plausible.
La fréquence observée de 0.58 est dans l'intervalle de fluctuation [0.5684 ; 0.6316]. L'affirmation du candidat est plausible au seuil de 95%.
• Fréquence observée : \(\hat{p} = \frac{\text{effectif observé}}{\text{taille échantillon}}\)
• Test d'hypothèse : Si \(\hat{p} \in I\) alors on accepte H₀
• Seuil de confiance : 95% dans l'intervalle de fluctuation
Plausibilité : Une affirmation est plausible si la fréquence observée dans un échantillon est compatible avec la proportion théorique, c'est-à-dire si elle se trouve dans l'intervalle de fluctuation.
- Identifier la proportion théorique p et la taille de l'échantillon n
- Calculer la fréquence observée dans l'échantillon
- Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%
- Comparer la fréquence observée à l'intervalle
- Conclure sur la plausibilité de l'affirmation
• Proportion affirmée : p = 0.8
• Taille de l'échantillon : n = 200
• Nombre de personnes protégées : 150
\(\hat{p} = \frac{150}{200} = 0.75\)
• n = 200 ≥ 25 ✓
• p = 0.8 ∈ [0.2, 0.8] ✓
Borne inférieure : \(0.8 - \frac{1}{\sqrt{200}} = 0.8 - \frac{1}{14.14} \approx 0.8 - 0.0707 = 0.7293\)
Borne supérieure : \(0.8 + \frac{1}{\sqrt{200}} = 0.8 + 0.0707 = 0.8707\)
Intervalle de fluctuation : [0.7293 ; 0.8707]
Fréquence observée : \(\hat{p} = 0.75\)
0.7293 ≤ 0.75 ≤ 0.8707 ✓
La fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, donc l'affirmation du laboratoire est plausible.
La fréquence observée de 0.75 est dans l'intervalle de fluctuation [0.7293 ; 0.8707]. L'affirmation du laboratoire est plausible au seuil de 95%.
• Intervalle de fluctuation : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
• Plausibilité : Si \(\hat{p} \in I\) alors l'affirmation est plausible
• Seuil de 95% : La fréquence observée est dans l'intervalle dans 95% des cas
Test de conformité : On teste si un procédé fonctionne selon les spécifications en comparant la proportion observée dans un échantillon avec la proportion théorique attendue.
- Identifier la proportion théorique p (spécification) et la taille de l'échantillon n
- Calculer la fréquence observée de pièces défectueuses
- Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%
- Comparer la fréquence observée à l'intervalle
- Conclure sur le fonctionnement de la machine
• Proportion théorique de pièces défectueuses : p = 0.05
• Taille de l'échantillon : n = 400
• Nombre de pièces défectueuses observées : 25
\(\hat{p} = \frac{25}{400} = 0.0625\)
• n = 400 ≥ 25 ✓
• p = 0.05 ∉ [0.2, 0.8] ❌
ATTENTION : La formule standard ne s'applique pas ici car p < 0.2
Pour p = 0.05 et n = 400, on peut approximer avec une loi normale ou utiliser des tables précises
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour p = 0.05 et n = 400 : [0.030 ; 0.070]
Intervalle de fluctuation : [0.030 ; 0.070]
Fréquence observée : \(\hat{p} = 0.0625\)
0.030 ≤ 0.0625 ≤ 0.070 ✓
La fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, donc la machine fonctionne correctement.
La fréquence observée de 0.0625 est dans l'intervalle de fluctuation [0.030 ; 0.070]. La machine fonctionne correctement au seuil de 95%.
• Conditions d'application : La formule standard requiert 0.2 ≤ p ≤ 0.8
• Approche alternative : Utiliser des intervalles adaptés pour p petit ou grand
• Conclusion : Si \(\hat{p} \in I\) alors le procédé est conforme
Test statistique : Procédure permettant de valider ou d'invalider une hypothèse concernant une caractéristique d'une population à partir d'un échantillon.
- Identifier la proportion théorique p et la taille de l'échantillon n
- Calculer la fréquence observée dans l'échantillon
- Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%
- Comparer la fréquence observée à l'intervalle
- Conclure sur la validité de l'affirmation de l'entreprise
• Proportion affirmée : p = 0.75
• Taille de l'échantillon : n = 300
• Nombre de clients satisfaits : 210
\(\hat{p} = \frac{210}{300} = 0.7\)
• n = 300 ≥ 25 ✓
• p = 0.75 ∈ [0.2, 0.8] ✓
Borne inférieure : \(0.75 - \frac{1}{\sqrt{300}} = 0.75 - \frac{1}{17.32} \approx 0.75 - 0.0577 = 0.6923\)
Borne supérieure : \(0.75 + \frac{1}{\sqrt{300}} = 0.75 + 0.0577 = 0.8077\)
Intervalle de fluctuation : [0.6923 ; 0.8077]
Fréquence observée : \(\hat{p} = 0.7\)
0.6923 ≤ 0.7 ≤ 0.8077 ✓
La fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, donc l'affirmation de l'entreprise est plausible.
La fréquence observée de 0.7 est dans l'intervalle de fluctuation [0.6923 ; 0.8077]. L'affirmation de l'entreprise est plausible au seuil de 95%.
• Test statistique : Comparaison entre théorie et observation
• Intervalle de fluctuation : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
• Validité : Accepter l'hypothèse si la fréquence est dans l'intervalle
- Étape 1 : Identifier p (proportion théorique) et n (taille échantillon)
- Étape 2 : Vérifier les conditions : n ≥ 25 et 0.2 ≤ p ≤ 0.8
- Étape 3 : Calculer l'intervalle : \(I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
- Étape 4 : Calculer la fréquence observée : \(\hat{p} = \frac{\text{effectif}}{n}\)
- Étape 5 : Comparer \(\hat{p}\) à l'intervalle I
- \(n \geq 25\) pour une approximation raisonnable
- \(0.2 \leq p \leq 0.8\) pour utiliser la formule simplifiée
- \(\hat{p} \in I \Rightarrow\) accepter l'hypothèse au seuil de 95%
- \(\hat{p} \notin I \Rightarrow\) rejeter l'hypothèse au seuil de 95%
- L'amplitude de l'intervalle diminue avec \(\sqrt{n}\)
