Moyenne pondérée : La moyenne pondérée de n valeurs (x₁, x₂, ..., xₙ) affectées des coefficients (w₁, w₂, ..., wₙ) est donnée par : \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}\)
- Identifier les valeurs (notes) et leurs coefficients (poids)
- Multiplier chaque valeur par son coefficient
- Sommer les produits obtenus
- Sommer les coefficients
- Diviser la somme des produits par la somme des coefficients
Notes : x₁ = 12, x₂ = 15, x₃ = 10, x₄ = 14
Coefficients : w₁ = 3, w₂ = 2, w₃ = 4, w₄ = 1
w₁x₁ = 3 × 12 = 36
w₂x₂ = 2 × 15 = 30
w₃x₃ = 4 × 10 = 40
w₄x₄ = 1 × 14 = 14
\(\sum w_i x_i = 36 + 30 + 40 + 14 = 120\)
\(\sum w_i = 3 + 2 + 4 + 1 = 10\)
\(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} = \frac{120}{10} = 12\)
La moyenne pondérée de l'élève est de 12.
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
• Poids : Les coefficients reflètent l'importance de chaque note
• Calcul : Somme des produits divisée par somme des poids
Salaire moyen pondéré : Moyenne des salaires où chaque salaire est pondéré par le nombre de personnes le percevant. Cela donne un indicateur plus représentatif de la situation réelle.
- Identifier les salaires et le nombre de personnes concernées
- Multiplier chaque salaire par le nombre de personnes
- Sommer les produits obtenus
- Sommer les effectifs
- Diviser la somme des produits par la somme des effectifs
Salaire : x₁ = 1500, x₂ = 2000, x₃ = 3000, x₄ = 4000
Effectifs : w₁ = 10, w₂ = 25, w₃ = 10, w₄ = 5
w₁x₁ = 10 × 1500 = 15000
w₂x₂ = 25 × 2000 = 50000
w₃x₃ = 10 × 3000 = 30000
w₄x₄ = 5 × 4000 = 20000
\(\sum w_i x_i = 15000 + 50000 + 30000 + 20000 = 115000\)
\(\sum w_i = 10 + 25 + 10 + 5 = 50\)
\(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} = \frac{115000}{50} = 2300\)
Le salaire moyen pondéré dans l'entreprise est de 2300€.
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
• Effectifs : Utilisés comme poids dans le calcul
• Représentativité : Le résultat tient compte de la distribution
Médiane pondérée : Valeur qui partage les données pondérées en deux groupes de même poids total. 50% du poids total est inférieur ou égal à cette valeur, 50% est supérieur ou égal.
- Classer les valeurs par ordre croissant
- Calculer les effectifs cumulés croissants
- Déterminer la position de la médiane (50% du poids total)
- Identifier la valeur correspondant à cette position
Valeurs : 8, 10, 12, 14, 16
Effectifs : 3, 5, 7, 4, 2
Total des effectifs : 3 + 5 + 7 + 4 + 2 = 21
| Note | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| 8 | 3 | 3 |
| 10 | 5 | 8 |
| 12 | 7 | 15 |
| 14 | 4 | 19 |
| 16 | 2 | 21 |
Le total des effectifs est 21, donc 50% de 21 = 10.5
Il faut trouver la valeur telle que l'effectif cumulé dépasse 10.5
L'effectif cumulé 15 correspond à la note 12
Comme 15 > 10.5, la médiane pondérée est 12
La médiane pondérée des notes est 12. Cela signifie que 50% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12.
• Médiane pondérée : Valeur qui sépare les données en deux parties égales en termes de poids
• Effectifs cumulés : Outil pour localiser la position de la médiane
• 50% des données : Positionnée à la moitié du total pondéré
Fréquence pondérée : Lorsque les poids sont exprimés sous forme de fréquences (compris entre 0 et 1), la somme des poids vaut 1. La formule de la moyenne pondérée devient : \(\bar{x} = \sum f_i x_i\)
- Identifier les valeurs et leurs fréquences
- Multiplier chaque valeur par sa fréquence
- Sommer les produits obtenus
- Le résultat est la moyenne pondérée
Valeurs : x₁ = 5, x₂ = 10, x₃ = 15, x₄ = 20
Fréquences : f₁ = 0.2, f₂ = 0.3, f₃ = 0.4, f₄ = 0.1
Vérification : 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1.0 ✓
f₁x₁ = 0.2 × 5 = 1.0
f₂x₂ = 0.3 × 10 = 3.0
f₃x₃ = 0.4 × 15 = 6.0
f₄x₄ = 0.1 × 20 = 2.0
\(\sum f_i x_i = 1.0 + 3.0 + 6.0 + 2.0 = 12.0\)
Quand les poids sont des fréquences (somme = 1), la moyenne pondérée est simplement la somme des produits.
La moyenne pondérée est de 12.0. Cette méthode est souvent utilisée pour les distributions de probabilité.
• Fréquences comme poids : \(\bar{x} = \sum f_i x_i\) quand \(\sum f_i = 1\)
• Normalisation : Les fréquences sont des poids normalisés
• Calcul simplifié : Pas besoin de diviser par la somme des poids
Taux moyen pondéré : Moyenne des taux de défaut où chaque taux est pondéré par le nombre de lots concernés. Cela permet d'avoir un indicateur global de performance.
- Identifier les taux de défaut et le nombre de lots correspondants
- Multiplier chaque taux par le nombre de lots
- Sommer les produits obtenus
- Sommer les nombres de lots
- Diviser la somme des produits par la somme des lots
Taux : x₁ = 2%, x₂ = 5%, x₃ = 8%, x₄ = 12%
Nombre de lots : w₁ = 10, w₂ = 20, w₃ = 15, w₄ = 5
w₁x₁ = 10 × 2 = 20
w₂x₂ = 20 × 5 = 100
w₃x₃ = 15 × 8 = 120
w₄x₄ = 5 × 12 = 60
\(\sum w_i x_i = 20 + 100 + 120 + 60 = 300\)
\(\sum w_i = 10 + 20 + 15 + 5 = 50\)
\(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} = \frac{300}{50} = 6\)
Le taux moyen de défaut est de 6%. Cela signifie que sur l'ensemble des lots, le taux de défaut moyen pondéré par le nombre de lots est de 6%.
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
• Application industrielle : Indicateur de performance global
• Représentativité : Le résultat tient compte de la distribution des lots
- Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
- Fréquence pondérée : \(f_i = \frac{w_i}{\sum w_i}\)
- Médiane pondérée : Valeur qui partage les données en deux parties de même poids
- Effectifs cumulés : Outil pour déterminer la médiane pondérée
- \(w_i \geq 0\) pour tout i (les poids sont positifs)
- \(\sum w_i \neq 0\) (la somme des poids n'est pas nulle)
- \(\min(x_i) \leq \bar{x} \leq \max(x_i)\) (la moyenne est comprise entre min et max)
- La médiane divise l'effectif total en deux parties égales
- La moyenne est influencée par les valeurs extrêmes, pas la médiane
