Tableau statistique : Représentation organisée des données d'une série statistique. Il contient généralement les modalités (valeurs), les effectifs, les fréquences, les effectifs cumulés et les fréquences cumulées.
- Identifier les différentes valeurs prises par la variable
- Compter l'effectif de chaque valeur
- Calculer les fréquences (effectif / effectif total)
- Calculer les effectifs cumulés croissants
- Calculer les fréquences cumulées croissantes
Les notes sont : 8, 10, 12, 14, 15
Note 8 : apparait 4 fois
Note 10 : apparait 7 fois
Note 12 : apparait 7 fois
Note 14 : apparait 4 fois
Note 15 : apparait 4 fois
Total des effectifs : N = 4 + 7 + 7 + 4 + 4 = 26
Fréquence de 8 : f₈ = 4/26 ≈ 0.154
Fréquence de 10 : f₁₀ = 7/26 ≈ 0.269
Fréquence de 12 : f₁₂ = 7/26 ≈ 0.269
Fréquence de 14 : f₁₄ = 4/26 ≈ 0.154
Fréquence de 15 : f₁₅ = 4/26 ≈ 0.154
8 : 4
10 : 4 + 7 = 11
12 : 11 + 7 = 18
14 : 18 + 4 = 22
15 : 22 + 4 = 26
8 : 4/26 ≈ 0.154
10 : 11/26 ≈ 0.423
12 : 18/26 ≈ 0.692
14 : 22/26 ≈ 0.846
15 : 26/26 = 1.000
| Note | Effectif | Fréquence | Effectif cumulé | Fréquence cumulée |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 4 | 0.154 | 4 | 0.154 |
| 10 | 7 | 0.269 | 11 | 0.423 |
| 12 | 7 | 0.269 | 18 | 0.692 |
| 14 | 4 | 0.154 | 22 | 0.846 |
| 15 | 4 | 0.154 | 26 | 1.000 |
Le tableau statistique complet est présenté ci-dessus.
• Effectif total : N = Σ nᵢ
• Fréquence : fᵢ = nᵢ / N
• Effectif cumulé : Nᵢ = Σ nⱼ pour j ≤ i
• Fréquence cumulée : Fᵢ = Nᵢ / N
Classes : Groupement des valeurs en intervalles. Chaque classe a une borne inférieure, une borne supérieure, une amplitude et une valeur centrale (milieu de la classe).
- Identifier les classes et leurs effectifs
- Calculer l'amplitude de chaque classe
- Déterminer la valeur centrale de chaque classe
- Calculer les fréquences et fréquences cumulées
Classe [0-5[ : 8 élèves
Classe [6-10[ : 15 élèves
Classe [11-15[ : 20 élèves
Classe [16-20[ : 7 élèves
Effectif total : N = 8 + 15 + 20 + 7 = 50
[0-5[ : amplitude = 5, centre = (0+5)/2 = 2.5
[6-10[ : amplitude = 4, centre = (6+10)/2 = 8
[11-15[ : amplitude = 4, centre = (11+15)/2 = 13
[16-20[ : amplitude = 4, centre = (16+20)/2 = 18
[0-5[ : f₁ = 8/50 = 0.16
[6-10[ : f₂ = 15/50 = 0.30
[11-15[ : f₃ = 20/50 = 0.40
[16-20[ : f₄ = 7/50 = 0.14
Effectifs cumulés : 8, 23, 43, 50
Fréquences cumulées : 0.16, 0.46, 0.86, 1.00
| Classe | Centre | Effectif | Fréquence | Eff. cumulé | Fréq. cumulée |
|---|---|---|---|---|---|
| [0-5[ | 2.5 | 8 | 0.16 | 8 | 0.16 |
| [6-10[ | 8 | 15 | 0.30 | 23 | 0.46 |
| [11-15[ | 13 | 20 | 0.40 | 43 | 0.86 |
| [16-20[ | 18 | 7 | 0.14 | 50 | 1.00 |
Le tableau de regroupement en classes est présenté ci-dessus.
• Centre de classe : (borne inf + borne sup) / 2
• Amplitude : borne supérieure - borne inférieure
• Fréquence : effectif de la classe / effectif total
Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}\). Médiane : Valeur qui partage la série en deux parties égales. Mode : Valeur(s) la plus fréquente.
- Calculer la moyenne à partir du tableau
- Déterminer la médiane en utilisant les effectifs cumulés
- Identifier le mode comme la valeur avec l'effectif le plus élevé
\(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{4 \times 8 + 7 \times 10 + 7 \times 12 + 4 \times 14 + 4 \times 15}{26}\)
\(\bar{x} = \frac{32 + 70 + 84 + 56 + 60}{26} = \frac{302}{26} \approx 11.62\)
Effectif total N = 26, donc N/2 = 13
On cherche la valeur qui correspond à l'effectif cumulé ≥ 13
Effectif cumulé de 10 : 11 < 13
Effectif cumulé de 12 : 18 ≥ 13
Donc Me = 12
Les notes 10 et 12 ont le plus grand effectif (7)
Donc Mo = 10 et 12 (distribution bimodale)
Moyenne ≈ 11.62, Médiane = 12, Mode = 10 et 12
• Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}\)
• Médiane : Valeur où l'effectif cumulé atteint N/2
• Mode : Valeur(s) avec l'effectif maximal
Salaire moyen pondéré : Moyenne des centres de classes pondérée par les effectifs de chaque classe. \(\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}\) où cᵢ est le centre de la classe i.
- Calculer le centre de chaque classe
- Multiplier chaque centre par l'effectif de la classe
- Sommer les produits obtenus
- Diviser par l'effectif total
[1000-1500[ : c₁ = (1000+1500)/2 = 1250
[1500-2000[ : c₂ = (1500+2000)/2 = 1750
[2000-3000[ : c₃ = (2000+3000)/2 = 2500
[3000-5000[ : c₄ = (3000+5000)/2 = 4000
40 × 1250 = 50000
80 × 1750 = 140000
60 × 2500 = 150000
20 × 4000 = 80000
∑ nᵢcᵢ = 50000 + 140000 + 150000 + 80000 = 420000
Effectif total : N = 40 + 80 + 60 + 20 = 200
\(\bar{x} = \frac{420000}{200} = 2100\)
Le salaire moyen est de 2100€.
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}\)
• Centre de classe : (borne inf + borne sup) / 2
• Application : Calcul de moyenne pour données regroupées en classes
Médiane pour données en classes : Valeur qui partage la série en deux parties égales. Pour les données regroupées, on utilise l'interpolation linéaire dans la classe médiane.
- Calculer l'effectif total N
- Déterminer la position de la médiane : N/2
- Identifier la classe médiane (celle qui contient la médiane)
- Utiliser l'interpolation linéaire dans la classe médiane
N = 5 + 12 + 18 + 10 + 5 = 50
N/2 = 50/2 = 25
On cherche la valeur qui correspond à l'effectif cumulé ≥ 25
[10-20[ : 5
[20-30[ : 5 + 12 = 17
[30-40[ : 17 + 18 = 35
[40-50[ : 35 + 10 = 45
[50-60[ : 45 + 5 = 50
L'effectif cumulé 35 correspond à la classe [30-40[
C'est donc la classe médiane
Classe médiane : [30-40[, amplitude = 10
Effectif cumulé avant la classe médiane = 17
Effectif dans la classe médiane = 18
Position de la médiane = 25
Position relative dans la classe = 25 - 17 = 8
Me = 30 + (8/18) × 10 = 30 + 4.44 = 34.44
L'âge médian est d'environ 34.44 ans.
• Médiane interpolée : Me = borne inf + (position - eff. cum. inf) × amplitude / eff. de la classe
• Classe médiane : Contient la valeur qui partage la série en deux parties égales
• Interpolation linéaire : Hypothèse de répartition uniforme dans la classe
- Fréquence : \(f_i = \frac{n_i}{N}\)
- Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}\)
- Médiane interpolée : \(Me = L_i + \frac{(N/2 - N_{i-1}) \times c}{n_i}\)
- Variance : \(V = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{N}\)
- \(\sum n_i = N\) (somme des effectifs = effectif total)
- \(\sum f_i = 1\) (somme des fréquences = 1)
- \(0 \leq f_i \leq 1\) (chaque fréquence est comprise entre 0 et 1)
- \(0 \leq F_i \leq 1\) (chaque fréquence cumulée est comprise entre 0 et 1)
- \(F_i \leq F_{i+1}\) (les fréquences cumulées sont croissantes)
