Écart-type : Mesure de la dispersion des valeurs d'une série statistique autour de la moyenne. Il s'exprime dans la même unité que les données. \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)
- Calculer la moyenne de la série
- Calculer les écarts à la moyenne pour chaque valeur
- Élever chaque écart au carré
- Calculer la moyenne des carrés des écarts (variance)
- Prendre la racine carrée de la variance (écart-type)
\(\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 15 + 18}{7} = \frac{75}{7} \approx 10.71\)
(5 - 10.71)² = (-5.71)² = 32.60
(7 - 10.71)² = (-3.71)² = 13.76
(8 - 10.71)² = (-2.71)² = 7.34
(10 - 10.71)² = (-0.71)² = 0.50
(12 - 10.71)² = (1.29)² = 1.66
(15 - 10.71)² = (4.29)² = 18.40
(18 - 10.71)² = (7.29)² = 53.14
\(V = \frac{32.60 + 13.76 + 7.34 + 0.50 + 1.66 + 18.40 + 53.14}{7} = \frac{127.40}{7} \approx 18.20\)
\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{18.20} \approx 4.27\)
L'écart-type de 4.27 indique que les valeurs sont en moyenne à 4.27 unités de la moyenne.
L'écart-type de la série est d'environ 4.27. Les données sont relativement dispersées autour de la moyenne de 10.71.
• Variance : \(V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
• Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V}\)
• Interprétation : Plus l'écart-type est grand, plus la dispersion est importante
Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle mesure la dispersion des données. \(V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
- Calculer la moyenne des tailles
- Calculer les écarts à la moyenne pour chaque taille
- Élever chaque écart au carré
- Calculer la moyenne des carrés des écarts (variance)
- Calculer l'écart-type en prenant la racine carrée de la variance
\(\bar{x} = \frac{165 + 170 + 175 + 168 + 172 + 169 + 174 + 171 + 167 + 173}{10} = \frac{1704}{10} = 170.4\)
(165 - 170.4)² = (-5.4)² = 29.16
(170 - 170.4)² = (-0.4)² = 0.16
(175 - 170.4)² = (4.6)² = 21.16
(168 - 170.4)² = (-2.4)² = 5.76
(172 - 170.4)² = (1.6)² = 2.56
(169 - 170.4)² = (-1.4)² = 1.96
(174 - 170.4)² = (3.6)² = 12.96
(171 - 170.4)² = (0.6)² = 0.36
(167 - 170.4)² = (-3.4)² = 11.56
(173 - 170.4)² = (2.6)² = 6.76
\(V = \frac{29.16 + 0.16 + 21.16 + 5.76 + 2.56 + 1.96 + 12.96 + 0.36 + 11.56 + 6.76}{10} = \frac{92.4}{10} = 9.24\)
\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{9.24} \approx 3.04\)
La variance est de 9.24 et l'écart-type est d'environ 3.04 cm.
• Variance : \(V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
• Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V}\)
• Unité : L'écart-type a la même unité que les données originales
Coefficient de variation : Rapport de l'écart-type à la moyenne, exprimé en pourcentage. Permet de comparer la dispersion de séries différentes. \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
- Calculer l'écart-type de chaque série à partir de la variance
- Appliquer la formule du coefficient de variation pour chaque série
- Comparer les coefficients de variation
- Interpréter la dispersion relative
Série 1 : \(\bar{x}_1 = 15\), \(V_1 = 9\) → \(\sigma_1 = \sqrt{9} = 3\)
Série 2 : \(\bar{x}_2 = 20\), \(V_2 = 16\) → \(\sigma_2 = \sqrt{16} = 4\)
\(CV_1 = \frac{\sigma_1}{\bar{x}_1} \times 100 = \frac{3}{15} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20\%\)
\(CV_2 = \frac{\sigma_2}{\bar{x}_2} \times 100 = \frac{4}{20} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20\%\)
Les deux séries ont le même coefficient de variation : 20%
Cela signifie qu'elles ont la même dispersion relative par rapport à leur moyenne respective.
Les deux séries ont le même coefficient de variation de 20%, ce qui signifie qu'elles ont la même dispersion relative.
• Coefficient de variation : \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
• Comparaison : Permet de comparer des séries de moyennes différentes
• Interprétation : Plus le CV est grand, plus la dispersion relative est importante
Écart-type pondéré : Prend en compte les effectifs de chaque valeur dans le calcul de la dispersion. \(V = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}\) et \(\sigma = \sqrt{V}\)
- Calculer la moyenne pondérée
- Calculer les écarts à la moyenne pondérée
- Élever chaque écart au carré et le multiplier par l'effectif
- Calculer la variance pondérée
- Calculer l'écart-type en prenant la racine carrée
\(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \frac{5 \times 8 + 8 \times 10 + 12 \times 12 + 6 \times 14 + 4 \times 16}{5 + 8 + 12 + 6 + 4}\)
\(\bar{x} = \frac{40 + 80 + 144 + 84 + 64}{35} = \frac{412}{35} \approx 11.77\)
\(n_1(x_1 - \bar{x})^2 = 5 \times (8 - 11.77)^2 = 5 \times (-3.77)^2 = 5 \times 14.21 = 71.05\)
\(n_2(x_2 - \bar{x})^2 = 8 \times (10 - 11.77)^2 = 8 \times (-1.77)^2 = 8 \times 3.13 = 25.04\)
\(n_3(x_3 - \bar{x})^2 = 12 \times (12 - 11.77)^2 = 12 \times (0.23)^2 = 12 \times 0.05 = 0.60\)
\(n_4(x_4 - \bar{x})^2 = 6 \times (14 - 11.77)^2 = 6 \times (2.23)^2 = 6 \times 4.97 = 29.82\)
\(n_5(x_5 - \bar{x})^2 = 4 \times (16 - 11.77)^2 = 4 \times (4.23)^2 = 4 \times 17.89 = 71.56\)
\(V = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i} = \frac{71.05 + 25.04 + 0.60 + 29.82 + 71.56}{35} = \frac{198.07}{35} \approx 5.66\)
\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{5.66} \approx 2.38\)
L'écart-type pondéré est d'environ 2.38. Cela indique la dispersion des notes par rapport à la moyenne pondérée.
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\)
• Variance pondérée : \(V = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}\)
• Écart-type pondéré : \(\sigma = \sqrt{V}\)
Comparaison de dispersion : L'utilisation du coefficient de variation permet de comparer la dispersion de séries statistiques de moyennes différentes, ce qui est essentiel pour des comparaisons significatives.
- Identifier les moyennes et écarts-types des deux entreprises
- Calculer le coefficient de variation pour chaque entreprise
- Comparer les coefficients de variation
- Interpréter la dispersion relative
Entreprise A : \(\bar{x}_A = 2500€\), \(\sigma_A = 500€\)
Entreprise B : \(\bar{x}_B = 3000€\), \(\sigma_B = 600€\)
\(CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times 100 = \frac{500}{2500} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20\%\)
\(CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times 100 = \frac{600}{3000} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20\%\)
Les deux entreprises ont le même coefficient de variation : 20%
Cela signifie que la dispersion relative des salaires est identique dans les deux entreprises.
Bien que l'entreprise B ait des salaires plus élevés en moyenne et un écart-type plus grand, la dispersion relative est la même que dans l'entreprise A.
Les deux entreprises ont le même coefficient de variation de 20%, ce qui signifie que la dispersion relative des salaires est identique.
• Coefficient de variation : \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
• Comparaison : Permet de comparer des séries de moyennes différentes
• Dispersion relative : Indépendante de l'unité de mesure
- Variance : \(V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
- Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V}\)
- Coefficient de variation : \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
- Variance pondérée : \(V = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}\)
- \(V \geq 0\) toujours (variance positive ou nulle)
- \(\sigma \geq 0\) toujours (écart-type positif ou nul)
- \(V = 0 \iff\) toutes les valeurs sont égales
- \(\sigma = 0 \iff\) toutes les valeurs sont égales
- Plus \(\sigma\) est grand, plus la dispersion est importante
