Écarts et dispersion des données
Introduction
Découvrez comment quantifier la dispersion des valeurs dans une série statistique
Contexte et motivation
Pourquoi mesurer la dispersion ?
Deux classes ont la même moyenne de 12/20 à un examen. Cependant, dans la classe A, les notes sont très proches de la moyenne (11, 12, 11.5, 12.5, 12, 11.8...), tandis que dans la classe B, les notes sont très dispersées (5, 19, 15, 7, 18, 6...).
La moyenne seule ne suffit pas à décrire la distribution des notes. Comment quantifier cette différence de répartition ?
Les mesures de dispersion permettent de caractériser l'étalement des valeurs autour de la moyenne.
- Comprendre la répartition des données
- Comparer des séries statistiques
- Évaluer la fiabilité d'une moyenne
- Identifier les valeurs aberrantes
- Préparer les analyses statistiques avancées
Étendue d'une série statistique
Mesure de l'étalement
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale :
C'est la mesure de dispersion la plus simple à calculer.
Pour la série : 8, 12, 15, 18, 22, 25
Valeur maximale = 25, Valeur minimale = 8
Étendue = 25 - 8 = 17
Un inconvénient de l'étendue est qu'elle ne tient compte que des valeurs extrêmes et ignore la distribution des autres valeurs.
Écart interquartile
Mesure robuste
Le premier quartile Q₁ est la valeur qui sépare les 25% des données les plus basses.
Le troisième quartile Q₃ est la valeur qui sépare les 25% des données les plus hautes.
L'écart interquartile est la différence entre Q₃ et Q₁ :
Cela signifie que 50% des données sont situées dans l'intervalle [Q₁, Q₃].
Pour une série ordonnée de N valeurs :
- Q₁ est la valeur d'ordre N/4 (ou la valeur suivante si N/4 n'est pas entier)
- Q₃ est la valeur d'ordre 3N/4 (ou la valeur suivante si 3N/4 n'est pas entier)
L'écart interquartile est plus robuste que l'étendue car il n'est pas influencé par les valeurs extrêmes.
Écart-type
Mesure standard
L'écart-type, noté σ (sigma), est la racine carrée de la variance :
Ou en utilisant la formule équivalente :
Où \(\overline{x^2}\) est la moyenne des carrés des valeurs.
L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
Plus l'écart-type est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne.
L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données.
Variance
Carré de l'écart-type
La variance, notée V(X) ou σ², est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
Ou en utilisant la formule de König-Huygens :
Et l'écart-type est : \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
- La variance est toujours positive ou nulle
- Elle est sensible aux valeurs extrêmes
- Elle s'exprime en unité carrée
- Elle est additive pour des variables indépendantes
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
- 2 Finance (analyse de risque)
- 3 Sciences humaines (analyse de comportement)
- 4 Recherche médicale (analyse de données)
- 5 Marketing (analyse de satisfaction client)
Une usine produit des pièces dont la longueur moyenne est de 10 cm. Si l'écart-type est de 0.1 cm, cela signifie que la plupart des pièces ont une longueur comprise entre 9.7 cm et 10.3 cm (environ 99.7% des pièces selon la loi normale).
Un écart-type plus faible indique une meilleure précision de fabrication.
Les mesures de dispersion permettent de détecter des problèmes de fabrication ou des variations anormales.
Exercice d'application
Problème complet
Voici les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle : 8, 10, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19
1. Calculer la moyenne des notes.
2. Déterminer l'étendue de la série.
3. Calculer l'écart interquartile.
4. Calculer la variance et l'écart-type.
5. Interpréter les résultats.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
\(\bar{x} = \frac{8 + 10 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 18 + 19}{20}\)
\(\bar{x} = \frac{275}{20} = 13.75\)
Valeur maximale = 19, Valeur minimale = 8
Étendue = 19 - 8 = 11
La série est ordonnée. N = 20.
Q₁ est la valeur d'ordre N/4 = 20/4 = 5, donc Q₁ = 12
Q₃ est la valeur d'ordre 3N/4 = 3×20/4 = 15, donc Q₃ = 16
Écart interquartile = Q₃ - Q₁ = 16 - 12 = 4
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
On utilise la formule : \(V = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\)
Calcul de \(\overline{x^2}\) : \(\overline{x^2} = \frac{8^2 + 10^2 + 12^2 + 12^2 + 12^2 + 13^2 + 13^2 + 14^2 + 14^2 + 14^2 + 14^2 + 15^2 + 15^2 + 15^2 + 16^2 + 16^2 + 17^2 + 17^2 + 18^2 + 19^2}{20}\)
\(\overline{x^2} = \frac{64 + 100 + 144 + 144 + 144 + 169 + 169 + 196 + 196 + 196 + 196 + 225 + 225 + 225 + 256 + 256 + 289 + 289 + 324 + 361}{20} = \frac{3865}{20} = 193.25\)
\(V = 193.25 - (13.75)^2 = 193.25 - 189.0625 = 4.1875\)
\(\sigma = \sqrt{4.1875} \approx 2.05\)
La moyenne est de 13.75/20, ce qui est une bonne note.
L'étendue de 11 indique une certaine dispersion des notes (de 8 à 19).
L'écart interquartile de 4 signifie que la moitié centrale des notes est répartie sur une plage de 4 points.
L'écart-type de 2.05 indique que les notes sont en moyenne à 2.05 points de la moyenne.
La dispersion est modérée, ce qui suggère une répartition raisonnable des performances.
Autre exercice
Problème complet
Un fabricant de pièces métalliques a mesuré la longueur de 100 pièces. Voici la répartition :
| Longueur (cm) | [9.8, 10.0[ | [10.0, 10.2[ | [10.2, 10.4[ | [10.4, 10.6[ | [10.6, 10.8[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 20 | 50 | 20 | 5 |
1. Calculer la moyenne des longueurs.
2. Déterminer l'étendue approximative.
3. Calculer l'écart-type des longueurs.
4. Interpréter la qualité de la fabrication.
Solution de l'exercice 2
Correction détaillée
Centres de classes : 9.9, 10.1, 10.3, 10.5, 10.7
\(\bar{x} = \frac{5×9.9 + 20×10.1 + 50×10.3 + 20×10.5 + 5×10.7}{100}\)
\(\bar{x} = \frac{49.5 + 202 + 515 + 210 + 53.5}{100} = \frac{1030}{100} = 10.3\)
Les classes extrêmes sont [9.8, 10.0[ et [10.6, 10.8[
Valeur minimale possible : 9.8 cm
Valeur maximale possible : 10.8 cm
Étendue approximative = 10.8 - 9.8 = 1.0 cm
On calcule \(\overline{x^2}\) : \(\overline{x^2} = \frac{5×(9.9)^2 + 20×(10.1)^2 + 50×(10.3)^2 + 20×(10.5)^2 + 5×(10.7)^2}{100}\)
\(\overline{x^2} = \frac{5×98.01 + 20×102.01 + 50×106.09 + 20×110.25 + 5×114.49}{100}\)
\(\overline{x^2} = \frac{490.05 + 2040.2 + 5304.5 + 2205 + 572.45}{100} = \frac{10612.2}{100} = 106.122\)
\(V = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 106.122 - (10.3)^2 = 106.122 - 106.09 = 0.032\)
\(\sigma = \sqrt{0.032} \approx 0.18\)
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
La moyenne de 10.3 cm est proche du centre de la distribution (10.3 est le centre de la classe la plus fréquente).
L'écart-type de 0.18 cm est relativement faible par rapport à la moyenne (1.7% de 10.3), ce qui indique une bonne précision de fabrication.
Plus de 50% des pièces (50%) ont une longueur dans la classe [10.2, 10.4[, ce qui est très proche de la valeur cible.
Seulement 10% des pièces (5% + 5%) sont dans les classes extrêmes, ce qui est acceptable.
La dispersion est faible, ce qui signifie que la fabrication est stable et contrôlée.
Le fabricant a une bonne qualité de production avec une dispersion faible des longueurs.
L'écart-type de 0.18 cm est acceptable pour une fabrication de précision.
La majorité des pièces sont proches de la valeur cible de 10.3 cm.
Le processus de fabrication semble bien maîtrisé.
Propriétés importantes
Propriétés clés
- L'écart-type est toujours positif ou nul
- Il est sensible aux valeurs extrêmes
- Il s'exprime dans la même unité que les données
- Il est invariant par translation : σ(X + a) = σ(X)
- Il est proportionnel par multiplication : σ(kX) = |k| × σ(X)
- La variance est toujours positive ou nulle
- Elle est sensible aux valeurs extrêmes
- Elle s'exprime en unité carrée
- Elle est additive pour des variables indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y indépendantes
Résumé
Points clés
Simple à calculer mais sensible aux valeurs extrêmes.
Plus robuste car insensible aux valeurs extrêmes.
Les plus utilisées car elles tiennent compte de toutes les valeurs.
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences