Tableaux de séries statistiques

• Organiser les données pour une meilleure lisibilité
• Faciliter les calculs statistiques
• Identifier les tendances et les anomalies
• Permettre des comparaisons entre différentes séries
• Support pour la création de graphiques

1. Tableau d'effectifs : présente le nombre d'occurrences de chaque valeur
2. Tableau de fréquences : présente la proportion de chaque valeur
3. Tableau d'effectifs cumulés : présente les effectifs cumulés croissants ou décroissants
4. Tableau de fréquences cumulées : présente les fréquences cumulées

• Le tableau d'effectifs montre la répartition absolue
• Le tableau de fréquences montre la répartition relative
• Les tableaux cumulés permettent de déterminer la médiane et les quartiles

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :

Où nᵢ est l'effectif de la valeur i et N est l'effectif total.

La fréquence peut s'exprimer en nombre décimal, en pourcentage, ou en fraction.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.

Exemple : Pour la série 8, 9, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16

L'effectif cumulé de la valeur 12 est : 1 + 1 + 1 + 2 + 6 = 11

La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.

La fréquence cumulée finale est toujours égale à 1 (ou 100%).

Les fréquences cumulées permettent de déterminer les quartiles et la médiane.

À partir d'un tableau d'effectifs :

Ou à partir d'un tableau de fréquences :

Où xᵢ sont les valeurs et nᵢ sont les effectifs associés.

On utilise le tableau des effectifs cumulés croissants :

• Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur correspondant à l'effectif cumulé ≥ (N+1)/2
• Si l'effectif total N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs correspondant aux effectifs cumulés N/2 et N/2+1

On peut aussi utiliser le tableau des fréquences cumulées : la médiane est la valeur correspondant à la fréquence cumulée ≥ 0.5.

• 1 Sondages d'opinion (analyse des réponses)
• 2 Études démographiques (répartition par âge, sexe)
• 3 Contrôle qualité (analyse des défauts)
• 4 Marketing (analyse des comportements d'achat)
• 5 Recherche scientifique (analyse des données expérimentales)

Une entreprise souhaite analyser le niveau de satisfaction de ses clients sur une échelle de 1 à 5. Elle recueille les réponses suivantes : 120 réponses "1", 250 réponses "2", 400 réponses "3", 300 réponses "4", 150 réponses "5".

Elle peut créer un tableau d'effectifs et de fréquences pour analyser la répartition des réponses, calculer la satisfaction moyenne, déterminer la médiane, et identifier les tendances. Cela lui permet de prendre des décisions éclairées pour améliorer son service.

Vérification : la somme des fréquences est 0.15 + 0.25 + 0.30 + 0.20 + 0.08 + 0.02 = 1.00 ✓

\(\bar{x} = \frac{1×15 + 2×25 + 3×30 + 4×20 + 5×8 + 6×2}{100}\)

\(\bar{x} = \frac{15 + 50 + 90 + 80 + 40 + 12}{100} = \frac{287}{100} = 2.87\)

Cela signifie que, en moyenne, un client achète 2.87 produits.

L'effectif total est N = 100 (pair), donc la médiane est la valeur correspondant à l'effectif cumulé ≥ 50.

Observons les effectifs cumulés : 15, 40, 70, 90, 98, 100

L'effectif cumulé 70 est le premier ≥ 50, ce qui correspond à la valeur 3.

Cela signifie que 50% des clients achètent 3 produits ou moins, et 50% achètent 3 produits ou plus.

\(\bar{x} = \sum f_i \times c_i\) où cᵢ est le centre de la classe i

\(\bar{x} = 0.15×1 + 0.25×3 + 0.35×5 + 0.20×7 + 0.05×9\)

\(\bar{x} = 0.15 + 0.75 + 1.75 + 1.40 + 0.45 = 4.5\)

La médiane est la valeur correspondant à la fréquence cumulée de 0.50 (50% des données).

Observons les fréquences cumulées : 0.15, 0.40, 0.75, 0.95, 1.00

La fréquence cumulée 0.75 est la première ≥ 0.50, donc la médiane est dans la classe [4, 6[.

Utilisons l'interpolation linéaire :

Entre 0.40 et 0.75, la médiane est à 0.50, soit à (0.50 - 0.40)/(0.75 - 0.40) = 0.10/0.35 ≈ 0.286 de la classe.

Médiane ≈ 4 + (6-4) × 0.286 = 4 + 0.571 = 4.57

En moyenne, les personnes interrogées passent 4.5 heures par jour devant un écran.

La moitié des personnes passent moins de 4.57 heures par jour devant un écran, et l'autre moitié plus.

La majorité des personnes (75%) passent moins de 6 heures par jour devant un écran.

Les classes [4,6[ et [2,4[ concentrent ensemble 60% des personnes.

• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes
• Elle est influencée par les effectifs des valeurs
• Elle se situe toujours entre la valeur minimale et la valeur maximale
• Elle est affectée par les transformations linéaires : si Y = aX + b, alors Ȳ = aX̄ + b

• La médiane est robuste face aux valeurs extrêmes
• Elle divise la série en deux parties de même effectif
• Elle est unique (contrairement à la moyenne dans certains cas)
• Elle est moins sensible aux transformations que la moyenne

• Tableau d'effectifs : nombre d'occurrences de chaque valeur
• Tableau de fréquences : proportions de chaque valeur
• Tableau d'effectifs cumulés : sommes progressives des effectifs
• Tableau de fréquences cumulées : sommes progressives des fréquences

• Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i \times x_i}{\sum n_i}\) ou \(\bar{x} = \sum f_i \times x_i\)
• Fréquence : \(f_i = \frac{n_i}{N}\)
• Médiane : valeur correspondant à 50% des données (N/2 ou fréquence cumulée = 0.5)