Mesures de dispersion
\( V = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \)
Variance d'une série
\( \sigma = \sqrt{V} \)
Écart-type
Exemple :
Série : 5, 7, 9, 11, 13
Moyenne x̄ = 9
Variance V = [(5-9)² + ... + (13-9)²]/5 = 8
Écart-type σ = √8 ≈ 2.83
Moyenne x̄ = 9
Variance V = [(5-9)² + ... + (13-9)²]/5 = 8
Écart-type σ = √8 ≈ 2.83
Concepts clés
Écart-type (σ)
Variance (V)
Étendue
Intervalle interquartile
Types de mesures
Absolue
Étendue, écart interquartile
Relative
Coefficient de variation
Quadratique
Variance, écart-type
Robuste
Écart interquartile
Interprétation
Petit écart-type → valeurs proches de la moyenne
Grand écart-type → valeurs dispersées
Méthodes & Formules
Variance : \( V = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \)
Écart-type : \( \sigma = \sqrt{V} \)
Étendue : Max - Min
Intervalle interquartile : Q₃ - Q₁
Conseils & Astuces
L'écart-type s'exprime dans l'unité des données
Utiliser la variance pour des calculs intermédiaires
Comparer les dispersions avec écart-type
L'écart-type est sensible aux valeurs extrêmes
L'intervalle interquartile est plus robuste
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre écart-type et variance
Erreur 2 :
Oublier de prendre la racine carrée pour σ
Erreur 3 :
Mal interpréter la valeur de l'écart-type
Exemples complets
Exemple 1 : Calcul pas à pas
Série : 2, 4, 6, 8, 10
Moyenne : x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 6
Écarts à la moyenne : -4, -2, 0, 2, 4
Carrés des écarts : 16, 4, 0, 4, 16
Somme = 40, Variance V = 40/5 = 8
Écart-type σ = √8 ≈ 2.83
Moyenne : x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 6
Écarts à la moyenne : -4, -2, 0, 2, 4
Carrés des écarts : 16, 4, 0, 4, 16
Somme = 40, Variance V = 40/5 = 8
Écart-type σ = √8 ≈ 2.83
Exemple 2 : Comparaison de séries
Série A : 5, 5, 5, 5, 5 → σ = 0 (pas de dispersion)
Série B : 1, 3, 5, 7, 9 → σ ≈ 2.83 (dispersion moyenne)
Série C : 0, 0, 5, 10, 10 → σ ≈ 4.24 (grande dispersion)
Plus σ est grand, plus la dispersion est importante.
Série B : 1, 3, 5, 7, 9 → σ ≈ 2.83 (dispersion moyenne)
Série C : 0, 0, 5, 10, 10 → σ ≈ 4.24 (grande dispersion)
Plus σ est grand, plus la dispersion est importante.
Exemple 3 : Application pratique
Notes de deux classes :
Classe A : x̄=12, σ=1.5 → notes homogènes
Classe B : x̄=12, σ=3.2 → notes très dispersées
Même moyenne mais dispersion très différente.
Classe A : x̄=12, σ=1.5 → notes homogènes
Classe B : x̄=12, σ=3.2 → notes très dispersées
Même moyenne mais dispersion très différente.
