Applications statistiques
Intervalle de fluctuation : \( I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] \)
Seuil de confiance : 95%
Exemple :
Dans une population, 60% des individus ont les yeux marrons.
Pour un échantillon de taille n=100 :
I = [0.6 - 1/√100, 0.6 + 1/√100] = [0.5, 0.7]
Pour un échantillon de taille n=100 :
I = [0.6 - 1/√100, 0.6 + 1/√100] = [0.5, 0.7]
Concepts clés
Échantillon de taille n
Proportion théorique p
Fréquence observée f
Test d'hypothèse
Types d'applications
Sondages
Estimation de proportions
Contrôle qualité
Tests de conformité
Médecine
Essais cliniques
Marketing
Analyse de satisfaction
Règles de décision
Si f ∈ I alors on accepte H₀ (hypothèse)
Si f ∉ I alors on rejette H₀ au seuil de 5%
Méthodes & Formules
Fréquence : \( f = \frac{\text{nombre de succès}}{n} \)
Intervalle de fluctuation : \( \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] \)
Condition d'utilisation : \( n ≥ 25 \) et \( 0.2 ≤ p ≤ 0.8 \)
Conseils & Astuces
Vérifier les conditions d'application
Bien identifier p (théorique) et f (observée)
Arrondir correctement les bornes
Plus n est grand, plus l'intervalle est précis
Utiliser la calculatrice pour les calculs
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre proportion théorique p et fréquence observée f
Erreur 2 :
Ne pas vérifier les conditions d'utilisation
Erreur 3 :
Interpréter mal les résultats du test
Exemples détaillés
Exemple 1 : Sondage politique
Selon les instituts, 52% des électeurs voteront pour le candidat A.
Un sondage de 1000 personnes donne 55% de votes pour A.
p=0.52, n=1000, f=0.55
I = [0.52 - 1/√1000, 0.52 + 1/√1000] = [0.49, 0.55]
f=0.55 ∈ I donc on accepte l'hypothèse.
Un sondage de 1000 personnes donne 55% de votes pour A.
p=0.52, n=1000, f=0.55
I = [0.52 - 1/√1000, 0.52 + 1/√1000] = [0.49, 0.55]
f=0.55 ∈ I donc on accepte l'hypothèse.
Exemple 2 : Contrôle qualité
Une machine doit produire 3% de pièces défectueuses.
Sur un lot de 500 pièces, on trouve 20 pièces défectueuses.
p=0.03, n=500, f=20/500=0.04
I = [0.03 - 1/√500, 0.03 + 1/√500] = [0.00, 0.06]
f=0.04 ∈ I donc la machine est conforme.
Sur un lot de 500 pièces, on trouve 20 pièces défectueuses.
p=0.03, n=500, f=20/500=0.04
I = [0.03 - 1/√500, 0.03 + 1/√500] = [0.00, 0.06]
f=0.04 ∈ I donc la machine est conforme.
Exemple 3 : Étude médicale
Un traitement est efficace dans 70% des cas selon les données.
Dans un essai avec 400 patients, 300 guérisons sont observées.
p=0.70, n=400, f=300/400=0.75
I = [0.70 - 1/√400, 0.70 + 1/√400] = [0.65, 0.75]
f=0.75 ∈ I donc le résultat est cohérent.
Dans un essai avec 400 patients, 300 guérisons sont observées.
p=0.70, n=400, f=300/400=0.75
I = [0.70 - 1/√400, 0.70 + 1/√400] = [0.65, 0.75]
f=0.75 ∈ I donc le résultat est cohérent.
