Variance : \(V(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2\). Mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance.
- Calculer E(X) avec la formule de l'espérance
- Calculer E(X²) avec la formule adaptée
- Appliquer la formule de la variance : V(X) = E(X²) - [E(X)]²
- Calculer l'écart-type : σ(X) = √V(X)
On a vu que pour un dé équilibré : E(X) = 3.5
\(E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 \cdot P(X = x_i)\)
\(E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}\)
\(E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\)
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
\(V(X) = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - 12.25\)
\(V(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}\)
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.71\)
Variance = 35/12 ≈ 2.92, Écart-type ≈ 1.71
• Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
• Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
• Unité : La variance est en unité², l'écart-type dans la même unité que X
Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Il s'exprime dans la même unité que la variable X, contrairement à la variance.
- Vérifier que la loi est bien définie
- Calculer E(Y) avec la formule de l'espérance
- Calculer E(Y²) avec la formule adaptée
- Appliquer la formule de la variance
- Calculer l'écart-type
\(P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) = 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1\) ✓
\(E(Y) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 = 0 + 0.3 + 1.0 = 1.3\)
\(E(Y^2) = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.5\)
\(E(Y^2) = 0 + 0.3 + 4 \cdot 0.5 = 0.3 + 2.0 = 2.3\)
\(V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 2.3 - (1.3)^2\)
\(V(Y) = 2.3 - 1.69 = 0.61\)
\(\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{0.61} \approx 0.78\)
Variance = 0.61, Écart-type ≈ 0.78
• Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
• Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
• Interprétation : Plus la variance est petite, plus X est concentrée
Interprétation de la variance : Plus la variance est grande, plus les valeurs de la variable sont dispersées autour de l'espérance. Une variance nulle signifie que la variable est constante.
- Déterminer la loi de probabilité de Z
- Calculer E(Z) (déjà fait dans l'exercice précédent)
- Calculer E(Z²) avec la formule adaptée
- Appliquer la formule de la variance
- Calculer l'écart-type
\(P(Z = 10) = \frac{1}{8}\), \(P(Z = 5) = \frac{3}{8}\), \(P(Z = 0) = \frac{1}{2}\)
On avait trouvé \(E(Z) = 3.125\)
\(E(Z^2) = 10^2 \cdot \frac{1}{8} + 5^2 \cdot \frac{3}{8} + 0^2 \cdot \frac{1}{2}\)
\(E(Z^2) = 100 \cdot \frac{1}{8} + 25 \cdot \frac{3}{8} + 0 = \frac{100}{8} + \frac{75}{8} = \frac{175}{8} = 21.875\)
\(V(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 21.875 - (3.125)^2\)
\(V(Z) = 21.875 - 9.765625 = 12.109375\)
\(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{12.109375} \approx 3.48\)
Variance = 12.109375 ≈ 12.11, Écart-type ≈ 3.48€
• Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
• Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
• Unité : L'écart-type s'exprime dans la même unité que la variable
Propriétés de la variance : Pour tous réels a et b, \(V(aX + b) = a^2V(X)\). Contrairement à l'espérance, la variance ne dépend pas du terme constant b.
- Appliquer la propriété de la transformation affine : V(aX + b) = a²V(X)
- Identifier les coefficients a et b dans l'expression
- Calculer la variance demandée
- Calculer l'écart-type en prenant la racine carrée
Nous avons 2X + 3, donc a = 2 et b = 3
\(V(2X + 3) = 2^2 \cdot V(X) = 4 \cdot V(X)\)
\(V(2X + 3) = 4 \cdot 4 = 16\)
\(\sigma(2X + 3) = \sqrt{V(2X + 3)} = \sqrt{16} = 4\)
Pour toute transformation affine aX + b :
\(V(aX + b) = a^2V(X)\)
\(\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)\)
V(2X + 3) = 16, σ(2X + 3) = 4
• Transformation affine : \(V(aX + b) = a^2V(X)\)
• Écart-type : \(\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)\)
• Terme constant : n'affecte pas la variance
Linéarité de l'espérance et propriété de la variance : Pour tous réels a et b, \(E(aX + b) = aE(X) + b\) et \(V(aX + b) = a^2V(X)\).
- Appliquer la linéarité de l'espérance : E(aX + b) = aE(X) + b
- Appliquer la propriété de la variance : V(aX + b) = a²V(X)
- Identifier les coefficients a et b dans l'expression
- Utiliser les données connues pour effectuer les calculs
Nous avons 2W - 1, donc a = 2 et b = -1
Utilisation de la linéarité de l'espérance : \(E(aW + b) = aE(W) + b\)
\(E(2W - 1) = 2E(W) + (-1) = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5\)
Utilisation de la propriété de la variance : \(V(aW + b) = a^2V(W)\)
\(V(2W - 1) = 2^2 \cdot V(W) = 4 \cdot 5 = 20\)
Pour toute transformation affine aX + b :
\(E(aX + b) = aE(X) + b\)
\(V(aX + b) = a^2V(X)\)
\(\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)\)
E(2W - 1) = 5, V(2W - 1) = 20
• Linéarité de l'espérance : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
• Transformation affine : \(V(aX + b) = a^2V(X)\)
• Terme constant : n'affecte pas la variance mais affecte l'espérance
- Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
- Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
- Transformation affine : \(V(aX + b) = a^2V(X)\)
- Linéarité de l'espérance : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
- \(V(X) \geq 0\) toujours
- \(V(X) = 0 \iff X\) est constante
- \(V(aX + b) = a^2V(X)\) pour tous réels a, b
- \(\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)\)
- \(E(aX + b) = aE(X) + b\) (linéarité)
