Formules fondamentales
Probabilité conditionnelle:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Formule de Bayes:
\( P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)} \)
\( P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)} \)
Exemple :
P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A∩B) = 0.1
P(A|B) = 0.1/0.3 = 1/3
P(B|A) = 0.1/0.4 = 1/4
P(A|B) = 0.1/0.3 = 1/3
P(B|A) = 0.1/0.4 = 1/4
Méthodes de résolution
Identifier les événements A et B
Reconnaître l'événement conditionnant
Appliquer la formule de probabilité conditionnelle
Utiliser la formule des probabilités totales si nécessaire
Types de problèmes
Calcul direct: Donné P(A), P(B), P(A∩B)
Inversion: Trouver P(B|A) connaissant P(A|B)
Partition: Utiliser une partition de l'univers
Méthodes & Conseils
Lire attentivement pour identifier la condition
Faire un schéma ou un arbre
Vérifier que P(B) ≠ 0 avant de conditionner
Savoir reconnaître les situations de conditionnement
Utiliser la formule de Bayes pour inverser les conditions
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre P(A|B) et P(B|A)
Erreur 2 :
Oublier de diviser par P(condition)
Erreur 3 :
Appliquer la formule sans vérifier les hypothèses
Erreur 4 :
Considérer des événements comme indépendants sans justification
Applications concrètes
Tests médicaux: P(malade|test positif)
Qualité: P(défaut|machine spécifique)
Marketing: P(achat|profil client)
Finance: P(faillite|indicateurs économiques)
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Dans une classe: 60% garçons, 40% filles
Parmi les garçons: 10% portent des lunettes
Parmi les filles: 15% portent des lunettes
P(Garçon|Lunettes) = (0.6×0.1)/(0.6×0.1 + 0.4×0.15) = 0.5
Parmi les garçons: 10% portent des lunettes
Parmi les filles: 15% portent des lunettes
P(Garçon|Lunettes) = (0.6×0.1)/(0.6×0.1 + 0.4×0.15) = 0.5
Exemple 2 :
Deux usines produisent des articles
Usine A: 70% de la production, 5% de défaut
Usine B: 30% de la production, 8% de défaut
P(Usine A|Défaut) = (0.7×0.05)/(0.7×0.05 + 0.3×0.08) ≈ 0.593
Usine A: 70% de la production, 5% de défaut
Usine B: 30% de la production, 8% de défaut
P(Usine A|Défaut) = (0.7×0.05)/(0.7×0.05 + 0.3×0.08) ≈ 0.593
