Homothéties et Similitudes

Les transformations peuvent être classées selon leurs propriétés :

• Isométries : conservent les distances (translation, rotation, symétrie)
• Similitudes : conservent les rapports de distances
• Homothéties : transformations de proportionnalité

• Si k > 0 : M' est du même côté de Ω que M
• Si k < 0 : M' est du côté opposé de Ω par rapport à M
• Si k = 1 : M' = M (identité)
• Si k = -1 : M' est le symétrique de M par rapport à Ω

Si A et B sont deux points et A', B' leurs images par une homothétie de rapport k :

Les distances sont multipliées par |k|, le module de k.

• Conservation des angles (angles orientés)
• Conservation du parallélisme
• Conservation de l'alignement
• Les milieux sont transformés en milieux
• Les surfaces sont multipliées par k²

1 On calcule d'abord le vecteur \(\overrightarrow{\Omega A}\) :
\(\overrightarrow{\Omega A} = (2-1, 3-1) = (1, 2)\)
2 On applique la formule : \(\overrightarrow{\Omega A'} = k \cdot \overrightarrow{\Omega A}\)
\(\overrightarrow{\Omega A'} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4)\)
3 On trouve A' : A' = Ω + \(\overrightarrow{\Omega A'}\)
A' = (1, 1) + (2, 4) = (3, 5)

Une similitude plane est une transformation qui conserve les rapports de distances. Cela signifie que pour tous points A, B, C, D :

Où A', B', C', D' sont les images respectives de A, B, C, D.

• Similitudes directes (conservent l'orientation)
• Similitudes indirectes (changent l'orientation)
• Les homothéties sont des similitudes directes
• Les isométries sont des similitudes de rapport 1

Une similitude transforme une figure en une figure semblable (même forme mais taille différente). Contrairement à une homothétie, une similitude peut aussi faire tourner la figure.

Elle est caractérisée par un rapport k > 0 et un angle α.

Soit Ω(a, b) le centre de la similitude, k > 0 le rapport et α l'angle. Si M(x, y) est un point, alors son image M'(x', y') est donnée par :

• Homothétie de centre Ω et rapport k : α = 0
• Rotation de centre Ω et angle α : k = 1
• Similitude de rapport k et angle α centrée à l'origine : (x, y) → (kx cos α - ky sin α, kx sin α + ky cos α)

Critère	Homothétie	Similitude
Paramètre	Centre Ω et rapport k	Centre Ω, rapport k et angle α
Orientation	Conservée si k > 0	Peut changer
Rotation	Aucune	Possible

La composée de deux transformations T₁ et T₂, notée T₂ ∘ T₁, est la transformation qui consiste à appliquer T₁ puis T₂.

Pour un point M : (T₂ ∘ T₁)(M) = T₂(T₁(M))

• La composée de deux homothéties de même centre est une homothétie de même centre
• La composée d'une homothétie et d'une rotation est une similitude
• La composée de deux similitudes est une similitude

Pour l'homothétie de centre Ω(0, 0) et rapport k = 2, les formules sont simples : M'(x', y') = k·M(x, y)

• A(1, 2) → A'(2×1, 2×2) = A'(2, 4)
• B(4, 3) → B'(2×4, 2×3) = B'(8, 6)
• C(2, 5) → C'(2×2, 2×5) = C'(4, 10)

On vérifie que A'B' = 2×AB, B'C' = 2×BC et A'C' = 2×AC :

• AB² = (4-1)² + (3-2)² = 9 + 1 = 10, donc AB = √10
• A'B'² = (8-2)² + (6-4)² = 36 + 4 = 40, donc A'B' = √40 = 2√10
• Donc A'B' = 2×AB ✓

De même pour les autres côtés, les rapports sont constants : k = 2.

On a Ω(0, 0), A(1, 0), k = 2 et α = π/4, donc cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.

Formules de similitude : x' = a + k[(x-a)cosα - (y-b)sinα] et y' = b + k[(x-a)sinα + (y-b)cosα]

Donc : x' = 0 + 2[(1-0)×(√2/2) - (0-0)×(√2/2)] = 2×(√2/2) = √2

Et : y' = 0 + 2[(1-0)×(√2/2) + (0-0)×(√2/2)] = 2×(√2/2) = √2

Distance ΩA = √[(1-0)² + (0-0)²] = 1

Distance ΩA' = √[(√2-0)² + (√2-0)²] = √[2+2] = √4 = 2

Donc ΩA' = 2×ΩA ✓

Vecteur \(\overrightarrow{ΩA} = (1, 0)\) et \(\overrightarrow{ΩA'} = (√2, √2)\)

Norme de \(\overrightarrow{ΩA} = 1\), norme de \(\overrightarrow{ΩA'} = 2\)

Produit scalaire : \(\overrightarrow{ΩA} \cdot \overrightarrow{ΩA'} = 1×√2 + 0×√2 = √2\)

Donc cos(angle) = √2/(1×2) = √2/2, donc l'angle est π/4 ✓

• 1 Informatique graphique (zoom, redimensionnement)
• 2 Photographie (retouche d'images)
• 3 Architecture (maquettes, plans)
• 4 Cartographie (échelles)
• 5 Arts (perspective, dessin technique)

En photographie, lorsqu'on zoome sur une portion d'image, on applique une homothétie. En architecture, pour représenter un bâtiment à une échelle réduite, on utilise une homothétie de rapport inférieur à 1. En cartographie, les échelles permettent de représenter des distances réelles sur une carte réduite.

• Image M' d'un point M : \(\overrightarrow{\Omega M'} = k \cdot \overrightarrow{\Omega M}\)
• Conservation des angles, parallélisme, alignement
• Distances multipliées par |k|, surfaces par k²

• Conservation des rapports de distances
• Peut inclure une rotation en plus d'un agrandissement/réduction
• Caractérisée par un rapport k > 0 et un angle α

• Les deux sont des transformations linéaires
• Les deux transforment les figures en figures semblables
• Les deux conservent les angles géométriques