Homothétie
Définition:
\( h_{\Omega,k}(M) = M' \) tel que \( \overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M} \)
\( h_{\Omega,k}(M) = M' \) tel que \( \overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M} \)
Coordonnées:
Si \( M(x, y) \), alors \( M'(x_\Omega + k(x-x_\Omega), y_\Omega + k(y-y_\Omega)) \)
Si \( M(x, y) \), alors \( M'(x_\Omega + k(x-x_\Omega), y_\Omega + k(y-y_\Omega)) \)
Exemple :
Homothétie de centre Ω(1,2) et de rapport k=2
M(3,4) → M'(1 + 2(3-1), 2 + 2(4-2)) = M'(5,6)
ΩM' = 2 × ΩM
M(3,4) → M'(1 + 2(3-1), 2 + 2(4-2)) = M'(5,6)
ΩM' = 2 × ΩM
Similitude
Similitude de rapport k > 0
k < 1 : réduction, k > 1 : agrandissement
Conservation des angles, multiplication des longueurs par k
Aires multipliées par k²
Propriétés des homothéties
Centre invariant: h_Ω,k(Ω) = Ω
Alignement: Préservé
Parallélisme: Préservé
Angles: Conservés (signe compris)
Méthodes & Conseils
Identifier le centre et le rapport
Repérer les points correspondants
Calculer le rapport à partir de longueurs
Vérifier les propriétés conservées
Utiliser les homothéties pour prouver des alignements
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre centre et rapport
Erreur 2 :
Oublier le signe du rapport
Erreur 3 :
Calculer avec des longueurs non correspondantes
Erreur 4 :
Confondre homothétie et translation
Applications géométriques
Figures semblables: Homothétiques ou composées
Triangles semblables: Rapport de similitude constant
Centres de gravité: Transformés par homothétie
Homothétie de rapport -1: Symétrie centrale
Exemples détaillés
Exemple 1 (Homothétie) :
Triangle ABC et A'B'C' homothétiques
Rapport k = A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA
Aires: Aire(A'B'C') = k² × Aire(ABC)
Rapport k = A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA
Aires: Aire(A'B'C') = k² × Aire(ABC)
Exemple 2 (Similitude) :
Carré de côté 2 cm transformé en carré de côté 6 cm
Rapport k = 6/2 = 3
Aire finale = 3² × 4 = 36 cm²
Rapport k = 6/2 = 3
Aire finale = 3² × 4 = 36 cm²
