Contre-exemple : Un exemple spécifique qui prouve qu'une affirmation universelle est fausse.
- Comprendre l'affirmation universelle à réfuter
- Tester des valeurs successives pour identifier un cas qui ne vérifie pas la propriété
- Calculer la valeur de l'expression pour cette valeur
- Vérifier que le résultat n'a pas la propriété attendue
L'affirmation est : "Pour tout entier naturel n, n² + n + 41 est premier"
On cherche un entier naturel n tel que n² + n + 41 n'est pas premier
Pour n = 0 : 0² + 0 + 41 = 41 (premier)
Pour n = 1 : 1² + 1 + 41 = 43 (premier)
Pour n = 2 : 4 + 2 + 41 = 47 (premier)
... Continuer jusqu'à trouver un contre-exemple
Essayons n = 40 : 40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681
Or, 1681 = 41², donc 1681 = 41 × 41
Donc 1681 n'est pas premier (puisqu'il est le produit de deux facteurs > 1)
Pour n = 40 : n² + n + 41 = 40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41²
1681 = 41 × 41, donc 1681 n'est pas premier
On a trouvé un entier naturel (n = 40) pour lequel n² + n + 41 n'est pas premier
Donc l'affirmation est fausse
Le nombre n = 40 est un contre-exemple car 40² + 40 + 41 = 1681 = 41², qui n'est pas premier.
• Contre-exemple : Un seul cas suffit pour infirmer une affirmation universelle
• Test : Essayer des valeurs pour trouver un cas qui ne vérifie pas la propriété
• Vérification : Confirmer que le nombre trouvé n'a pas la propriété attendue
Implication fausse : Pour infirmer \(P \Rightarrow Q\), trouver un cas où P est vraie et Q est fausse.
L'affirmation est : "Pour tout réel x, si x² = 4 alors x = 2"
On cherche un réel x tel que x² = 4 mais x ≠ 2
x² = 4 ⇔ x = 2 ou x = -2
Donc il y a deux solutions : x = 2 et x = -2
On a x² = 4 pour x = 2 et x = -2
Mais pour x = -2, on a x² = 4 ET x ≠ 2
Donc x = -2 est un contre-exemple
Pour x = -2 : x² = (-2)² = 4 (donc la prémisse est vraie)
Mais x = -2 ≠ 2 (donc la conclusion est fausse)
Donc l'implication est fausse
L'affirmation "si x² = 4 alors x = 2" est fausse
Car il existe un contre-exemple : x = -2
Le nombre x = -2 est un contre-exemple car (-2)² = 4 mais -2 ≠ 2.
• Implication : Pour infirmer \(P \Rightarrow Q\), trouver un cas où P est vraie et Q est fausse
• Équation : Résoudre x² = 4 donne x = 2 ou x = -2
• Logique : La prémisse est vraie mais la conclusion est fausse
Égalité fausse : Trouver des valeurs de a et b pour lesquelles |a + b| ≠ |a| + |b|.
L'affirmation est : "Pour tous réels a et b, |a + b| = |a| + |b|"
On cherche des réels a et b tels que |a + b| ≠ |a| + |b|
Essayons avec a et b de signes opposés
Soit a = 1 et b = -1
Côté gauche : |a + b| = |1 + (-1)| = |0| = 0
Côté droit : |a| + |b| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2
|a + b| = 0 et |a| + |b| = 2
Donc |a + b| ≠ |a| + |b|
On a trouvé des réels a = 1 et b = -1 pour lesquels l'égalité n'est pas vérifiée
Donc l'affirmation est fausse
Les nombres a = 1 et b = -1 constituent un contre-exemple car |1 + (-1)| = 0 ≠ 2 = |1| + |-1|.
• Égalité : Pour infirmer une égalité universelle, un seul contre-exemple suffit
• Signes opposés : Les cas où a et b sont de signes opposés sont souvent des contre-exemples
• Valeur absolue : |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
Implication fausse : Pour infirmer "si a² = b² alors a = b", trouver des réels a et b avec a² = b² mais a ≠ b.
L'affirmation est : "Pour tous réels a et b, si a² = b² alors a = b"
On cherche des réels a et b tels que a² = b² mais a ≠ b
a² = b² ⇔ a² - b² = 0 ⇔ (a - b)(a + b) = 0
Donc a² = b² si et seulement si a = b ou a = -b
Si a = -b avec b ≠ 0, alors a² = (-b)² = b²
Mais a = -b ≠ b (puisque b ≠ 0)
Soit a = 2 et b = -2
Pour a = 2 et b = -2 :
a² = 2² = 4
b² = (-2)² = 4
Donc a² = b² (la prémisse est vraie)
Mais a = 2 ≠ -2 = b (la conclusion est fausse)
L'affirmation "si a² = b² alors a = b" est fausse
Car il existe un contre-exemple : a = 2 et b = -2
Les nombres a = 2 et b = -2 constituent un contre-exemple car 2² = (-2)² = 4 mais 2 ≠ -2.
• Équation : a² = b² ⇔ a = b ou a = -b
• Implication : Pour infirmer, il suffit de trouver un cas où la prémisse est vraie mais la conclusion est fausse
• Signes opposés : Les nombres opposés ont le même carré
Égalité fausse : Trouver des réels a et b ≥ 0 pour lesquels \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
L'affirmation est : "Pour tous réels a et b, \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)"
Note : Pour que les racines soient définies, il faut a ≥ 0 et b ≥ 0
On cherche des réels a ≥ 0 et b ≥ 0 tels que \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
Essayons a = 1 et b = 1
Côté gauche : \(\sqrt{a + b} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
Côté droit : \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2\)
\(\sqrt{a + b} = \sqrt{2} \approx 1.414\)
\(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 2\)
Donc \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
On peut aussi vérifier en élevant au carré : \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\)
Alors que \((\sqrt{a + b})^2 = a + b\)
Donc \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a + b})^2 + 2\sqrt{ab}\)
On a égalité si et seulement si \(2\sqrt{ab} = 0\), c'est-à-dire si a = 0 ou b = 0
Les nombres a = 1 et b = 1 constituent un contre-exemple car \(\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \neq 2 = \sqrt{1} + \sqrt{1}\).
• Racines carrées : \(\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) (inégalité triangulaire)
• Égalité : L'égalité est atteinte seulement si a = 0 ou b = 0
• Test : Des valeurs simples comme a = b = 1 permettent souvent de trouver des contre-exemples
- Cas simples : Essayez d'abord 0, 1, -1, 2, etc.
- Signes opposés : Pour les valeurs absolues, essayez des nombres de signes opposés
- Limites : Cherchez des cas où une quantité s'annule
- Symétries : Utilisez des propriétés de symétrie pour construire des exemples
- Un contre-exemple infirme une affirmation universelle
- Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une propriété est fausse
- Pour infirmer une implication, trouver un cas où la prémisse est vraie et la conclusion fausse
- Les contre-exemples sont des outils puissants en mathématiques
