Calculs itératifs
Exercices corrigés

Variables u, i, n : entiers
Début
  n ← 10
  u ← 1  // u₀ = 1
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à n-1 Faire
    u ← 2*u + 3  // uₙ₊₁ = 2uₙ + 3
    Afficher("u", i, " = ", u)
  FinPour
Fin

u₀ = 1

u₁ = 2×1 + 3 = 5

u₂ = 2×5 + 3 = 13

u₃ = 2×13 + 3 = 29

u₄ = 2×29 + 3 = 61

La suite peut être exprimée comme : \(u_n = 2 \times 2^n - 3 = 2^{n+1} - 3\)

Variables n, i, somme : entiers
Début
  Afficher("Entrez la valeur de n : ")
  Lire(n)
  
  somme ← 0  // Initialisation de l'accumulateur
  
  Pour i de 1 à n Faire
    somme ← somme + i*i  // Ajouter le carré de i
  FinPour
  
  Afficher("La somme des carrés de 1 à ", n, " est : ", somme)
Fin

Variables : n (entrée), i (compteur), somme (accumulateur)

somme ← 0 (initialisation indispensable pour l'addition)

Pour i de 1 à n : i prend successivement les valeurs 1, 2, ..., n

somme ← somme + i*i : chaque carré est ajouté à la somme

i=1: somme=0+1²=1

i=2: somme=1+2²=1+4=5

i=3: somme=5+3²=5+9=14

i=4: somme=14+4²=14+16=30

La somme des carrés a une formule close : \(S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Pour n=4 : S₄ = 4×5×9/6 = 180/6 = 30 ✓

Variables n, i, fact : entiers
Début
  Afficher("Entrez la valeur de n : ")
  Lire(n)
  
  Si n = 0 Alors
    fact ← 1  // 0! = 1 par définition
  Sinon
    fact ← 1  // Initialisation pour la multiplication
    
    Pour i de 1 à n Faire
      fact ← fact * i  // Multiplier par i
    FinPour
  FinSi
  
  Afficher("La factorielle de ", n, " est : ", fact)
Fin

0! = 1 par convention mathématique

fact ← 1 (initialisation à 1 pour la multiplication)

Pour i de 1 à n : i prend les valeurs 1, 2, ..., n

fact ← fact * i : chaque valeur est multipliée à la factorielle

i=1: fact=1×1=1

i=2: fact=1×2=2

i=3: fact=2×3=6

i=4: fact=6×4=24

i=5: fact=24×5=120

La factorielle croît très rapidement : 5!=120, 10!=3,628,800

Variables a, u, u_prec, precision : réels
Variables i, max_iter : entiers
Début
  Afficher("Entrez le nombre dont vous voulez la racine : ")
  Lire(a)
  
  Afficher("Entrez la précision souhaitée : ")
  Lire(precision)
  
  u ← a/2  // Estimation initiale
  max_iter ← 100  // Limite d'itérations
  
  Pour i de 1 à max_iter Faire
    u_prec ← u
    u ← (u + a/u) / 2  // Formule de Héron
    
    Si |u - u_prec| < precision Alors
      Afficher("Racine carrée de ", a, " ≈ ", u)
      Afficher("Trouvée en ", i, " itérations")
      Sortir de la boucle
    FinSi
  FinPour
  
  Si i = max_iter Alors
    Afficher("La méthode n'a pas convergé")
  FinSi
Fin

u ← a/2 (estimation initiale raisonnable)

max_iter ← 100 (limite pour éviter boucle infinie)

\(u_{n+1} = \frac{u_n + \frac{a}{u_n}}{2}\)

Chaque itération rapproche u de \(\sqrt{a}\)

Arrêt quand |u - u_prec| < précision

Ou après un nombre maximal d'itérations

u₀ = 12.5

u₁ = (12.5 + 25/12.5)/2 = (12.5 + 2)/2 = 7.25

u₂ = (7.25 + 25/7.25)/2 ≈ 5.39

u₃ ≈ 5.01, u₄ ≈ 5.00 (proche de √25 = 5)

Convergence quadratique (très rapide)

La méthode double approximativement le nombre de décimales correctes à chaque itération

Variables n, i, u_prec2, u_prec1, u : entiers
Début
  Afficher("Entrez le rang n : ")
  Lire(n)
  
  Si n = 0 Alors
    u ← 0
  Sinon Si n = 1 Alors
    u ← 1
  Sinon
    u_prec2 ← 0  // u₀
    u_prec1 ← 1  // u₁
    
    Pour i de 2 à n Faire
      u ← u_prec1 + u_prec2  // uₙ = uₙ₋₁ + uₙ₋₂
      u_prec2 ← u_prec1      // Décaler les valeurs
      u_prec1 ← u
    FinPour
  FinSi
  
  Afficher("Le terme u_", n, " de la suite de Fibonacci est : ", u)
Fin

u₀ = 0, u₁ = 1 (valeurs initiales)

u_prec2 stocke uₙ₋₂

u_prec1 stocke uₙ₋₁

u stocke uₙ

u ← u_prec1 + u_prec2 (calcul du nouveau terme)

Décaler les variables pour la prochaine itération

i=2: u=1+0=1, u_prec2=0, u_prec1=1

i=3: u=1+1=2, u_prec2=1, u_prec1=2

i=4: u=2+1=3, u_prec2=1, u_prec1=3

i=5: u=3+2=5, u_prec2=2, u_prec1=5

i=6: u=5+3=8, u_prec2=3, u_prec1=8

La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux phénomènes naturels

Le rapport uₙ/uₙ₋₁ tend vers le nombre d'or φ ≈ 1.618