Mathématiques1ère

Simulation de suites
Exercices corrigés

Maîtrisez la simulation de suites : suites arithmétiques, géométriques, récurrentes, convergence, divergence grâce à ces 5 exercices détaillés.

Concepts & Exercices
\(\text{Suite} : u_{n+1} = f(u_n) \xrightarrow[\text{Simulations}]{\text{Calculs}} \text{Comportement}\)
Simulation de suites
🔢
Suites arithmétiques : uₙ₊₁ = uₙ + r (raison r).
📊
Suites géométriques : uₙ₊₁ = q·uₙ (raison q).
🔄
Suites récurrentes : uₙ₊₁ = f(uₙ) (relation de récurrence).
📈
Convergence : Comportement asymptotique des suites.
Exercice 1
Simuler les 10 premiers termes de la suite arithmétique définie par u₀ = 5 et r = 3. Observer la tendance.
Exercice 2
Simuler les 8 premiers termes de la suite géométrique définie par u₀ = 2 et q = 0.8. Observer la convergence.
Exercice 3
Simuler la suite logistique uₙ₊₁ = 2uₙ(1-uₙ) avec u₀ = 0.3. Observer le comportement à long terme.
Exercice 4
Simuler la suite de Syracuse : uₙ₊₁ = uₙ/2 si uₙ pair, 3uₙ+1 si uₙ impair, avec u₀ = 7.
Exercice 5
Simuler la suite de Héron : uₙ₊₁ = (uₙ + 5/uₙ)/2 avec u₀ = 10. Observer la convergence vers √5.
Corrigé : Exercices 1 à 3
1 Suite arithmétique
Définition :

Suite arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\) avec \(r\) la raison.

Méthode de simulation :
  1. Initialiser le premier terme
  2. Itérer la relation de récurrence
  3. Calculer chaque terme à partir du précédent
  4. Observer le comportement
Algorithme de simulation
Variables u, r, i, n : réels
Début
  u ← 5  // u₀ = 5
  r ← 3  // raison
  n ← 10 // nombre de termes à simuler
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à n-1 Faire
    u ← u + r  // uₙ₊₁ = uₙ + r
    Afficher("u", i, " = ", u)
  FinPour
Fin
Étape 1 : Calcul des premiers termes

u₀ = 5

u₁ = 5 + 3 = 8

u₂ = 8 + 3 = 11

u₃ = 11 + 3 = 14

u₄ = 14 + 3 = 17

Étape 2 : Formule générale

Pour une suite arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\)

Ici : \(u_n = 5 + 3n\)

Étape 3 : Tableau de simulation
n uₙ
05
18
211
314
417
520
623
726
829
932
Étape 4 : Comportement asymptotique

Si r > 0 : la suite est croissante et tend vers +∞

Si r < 0 : la suite est décroissante et tend vers -∞

Réponse finale :

La suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3 est croissante et diverge vers +∞.

Règles appliquées :

• Itération : Chaque terme est calculé à partir du précédent

• Récurrence : Relation entre termes successifs

• Comportement : Dépend du signe de la raison

Point clé 1

La suite arithmétique croît linéairement avec n

Point clé 2

Le comportement dépend uniquement du signe de la raison

2 Suite géométrique
Définition :

Suite géométrique : \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) avec \(q\) la raison.

Algorithme de simulation
Variables u, q, i, n : réels
Début
  u ← 2  // u₀ = 2
  q ← 0.8  // raison
  n ← 8 // nombre de termes à simuler
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à n-1 Faire
    u ← q * u  // uₙ₊₁ = q·uₙ
    Afficher("u", i, " = ", u)
  FinPour
Fin
Étape 1 : Calcul des premiers termes

u₀ = 2

u₁ = 0.8 × 2 = 1.6

u₂ = 0.8 × 1.6 = 1.28

u₃ = 0.8 × 1.28 = 1.024

u₄ = 0.8 × 1.024 = 0.8192

Étape 2 : Formule générale

Pour une suite géométrique : \(u_n = u_0 \cdot q^n\)

Ici : \(u_n = 2 \cdot (0.8)^n\)

Étape 3 : Comportement asymptotique

Si |q| < 1 : la suite converge vers 0

Si q > 1 et u₀ > 0 : la suite diverge vers +∞

Si q < -1 : la suite diverge sans tendance

Étape 4 : Tableau de simulation
n uₙ
02.000
11.600
21.280
31.024
40.819
50.655
60.524
70.419
Réponse finale :

La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 0.8 converge vers 0.

Règles appliquées :

• Itération : Chaque terme est multiplié par la raison

• Convergence : Si |q| < 1, la suite tend vers 0

• Comportement : Dépend du module de la raison

Point clé 1

La suite géométrique converge exponentiellement vers 0 si |q| < 1

Point clé 2

La vitesse de convergence dépend de la valeur de |q|

3 Suite logistique
Définition :

Suite logistique : \(u_{n+1} = 2u_n(1-u_n)\) avec \(u_0 = 0.3\).

Algorithme de simulation
Variables u, i, n : réels
Début
  u ← 0.3  // u₀ = 0.3
  n ← 15 // nombre de termes à simuler
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à n-1 Faire
    u ← 2 * u * (1 - u)  // uₙ₊₁ = 2uₙ(1-uₙ)
    Afficher("u", i, " = ", u)
  FinPour
Fin
Étape 1 : Calcul des premiers termes

u₀ = 0.3

u₁ = 2 × 0.3 × (1 - 0.3) = 2 × 0.3 × 0.7 = 0.42

u₂ = 2 × 0.42 × (1 - 0.42) = 2 × 0.42 × 0.58 = 0.4872

u₃ = 2 × 0.4872 × (1 - 0.4872) = 2 × 0.4872 × 0.5128 ≈ 0.5002

Étape 2 : Tableau de simulation
n uₙ
00.3000
10.4200
20.4872
30.5002
40.5000
50.5000
60.5000
Étape 3 : Analyse du comportement

La suite semble converger vers 0.5

Pour vérifier, on cherche les points fixes : \(x = 2x(1-x)\)

\(x = 2x - 2x^2 \Rightarrow x - 2x + 2x^2 = 0 \Rightarrow x(2x - 1) = 0\)

Donc \(x = 0\) ou \(x = 0.5\)

Étape 4 : Stabilité des points fixes

La dérivée de \(f(x) = 2x(1-x)\) est \(f'(x) = 2 - 4x\)

Au point fixe \(x = 0.5\) : \(f'(0.5) = 0\), donc stable

Au point fixe \(x = 0\) : \(f'(0) = 2\), donc instable

Réponse finale :

La suite logistique converge vers 0.5, qui est un point fixe stable.

Règles appliquées :

• Itération : Chaque terme dépend du précédent par une relation non linéaire

• Points fixes : Solutions de \(x = f(x)\)

• Stabilité : Déterminée par la dérivée en ce point

Point clé 1

La suite logistique modélise des phénomènes de croissance limitée

Point clé 2

Des comportements complexes peuvent émerger de relations simples

Corrigé : Exercices 4 à 5
4 Suite de Syracuse
Définition :

Suite de Syracuse : \(u_{n+1} = \begin{cases} u_n/2 & \text{si } u_n \text{ est pair} \\ 3u_n+1 & \text{si } u_n \text{ est impair} \end{cases}\)

Algorithme de simulation
Variables u, i, n : entiers
Début
  u ← 7  // u₀ = 7
  n ← 20 // nombre maximum d'itérations
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à n-1 Faire
    Si u MOD 2 = 0 Alors  // u est pair
      u ← u / 2
    Sinon  // u est impair
      u ← 3*u + 1
    FinSi
    Afficher("u", i, " = ", u)
    
    Si u = 1 Alors  // Conjecture de Syracuse
      Afficher("La suite atteint 1 après ", i, " itérations")
      Sortir de la boucle
    FinSi
  FinPour
Fin
Étape 1 : Calcul de la suite (u₀ = 7)

u₀ = 7 (impair) → u₁ = 3×7+1 = 22

u₁ = 22 (pair) → u₂ = 22/2 = 11

u₂ = 11 (impair) → u₃ = 3×11+1 = 34

u₃ = 34 (pair) → u₄ = 34/2 = 17

u₄ = 17 (impair) → u₅ = 3×17+1 = 52

u₅ = 52 (pair) → u₆ = 52/2 = 26

u₆ = 26 (pair) → u₇ = 26/2 = 13

u₇ = 13 (impair) → u₈ = 3×13+1 = 40

u₈ = 40 (pair) → u₉ = 40/2 = 20

u₉ = 20 (pair) → u₁₀ = 20/2 = 10

u₁₀ = 10 (pair) → u₁₁ = 10/2 = 5

u₁₁ = 5 (impair) → u₁₂ = 3×5+1 = 16

u₁₂ = 16 (pair) → u₁₃ = 16/2 = 8

u₁₃ = 8 (pair) → u₁₄ = 8/2 = 4

u₁₄ = 4 (pair) → u₁₅ = 4/2 = 2

u₁₅ = 2 (pair) → u₁₆ = 2/2 = 1

Étape 2 : Comportement de la suite

La suite atteint 1 après 16 itérations

À partir de 1 : 1 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 (cycle)

Étape 3 : Conjecture de Syracuse

Conjecture : Pour tout entier positif, la suite atteint 1

Non prouvée à ce jour

Étape 4 : Caractéristiques de la suite

Comportement erratique : croissance rapide puis décroissance

Difficulté de prédiction du comportement à long terme

Réponse finale :

La suite de Syracuse partant de 7 atteint 1 après 16 itérations, illustrant la conjecture non résolue.

Règles appliquées :

• Itération conditionnelle : Deux règles selon la parité

• Comportement chaotique : Difficile à prédire

• Problème ouvert : Conjecture non prouvée

Point clé 1

La suite de Syracuse illustre des comportements complexes à partir de règles simples

Point clé 2

Des suites simples peuvent poser des problèmes mathématiques non résolus

5 Suite de Héron
Définition :

Suite de Héron : \(u_{n+1} = \frac{u_n + \frac{a}{u_n}}{2}\) pour approcher \(\sqrt{a}\).

Algorithme de simulation
Variables u, a, u_prec, precision : réels
Variables i, max_iter : entiers
Début
  a ← 5  // On veut √5
  u ← 10 // u₀ = 10 (estimation initiale)
  precision ← 0.0001
  max_iter ← 20
  
  Afficher("u₀ = ", u)
  
  Pour i de 1 à max_iter Faire
    u_prec ← u
    u ← (u + a/u) / 2  // Formule de Héron
    
    Afficher("u", i, " = ", u)
    
    Si |u - u_prec| < precision Alors
      Afficher("Convergence atteinte après ", i, " itérations")
      Afficher("√", a, " ≈ ", u)
      Sortir de la boucle
    FinSi
  FinPour
Fin
Étape 1 : Calcul des premiers termes (a=5, u₀=10)

u₀ = 10

u₁ = (10 + 5/10)/2 = (10 + 0.5)/2 = 5.25

u₂ = (5.25 + 5/5.25)/2 = (5.25 + 0.952)/2 ≈ 3.101

u₃ = (3.101 + 5/3.101)/2 = (3.101 + 1.612)/2 ≈ 2.357

u₄ = (2.357 + 5/2.357)/2 = (2.357 + 2.121)/2 ≈ 2.239

u₅ = (2.239 + 5/2.239)/2 = (2.239 + 2.233)/2 ≈ 2.236

Étape 2 : Convergence vers √5

√5 ≈ 2.236067977...

La suite converge rapidement vers cette valeur

Étape 3 : Tableau de simulation
n uₙ Écart à √5
010.0000007.763932
15.2500003.013932
23.1011900.865122
32.3567340.120666
42.2391380.003070
52.2360690.000001
Étape 4 : Propriétés de la méthode

Convergence quadratique (double le nombre de décimales correctes à chaque itération)

Très efficace pour le calcul de racines carrées

Réponse finale :

La suite de Héron converge rapidement vers √5 ≈ 2.236, illustrant une méthode itérative efficace.

Règles appliquées :

• Itération : Chaque terme s'approche de la racine

• Convergence : Quadratique, donc très rapide

• Estimation initiale : Peut être arbitraire, la convergence est assurée

Point clé 1

La méthode de Héron converge très rapidement vers la racine carrée

Point clé 2

La convergence quadratique signifie que la précision double à chaque itération

Cours bien détaillé
\(\text{u}_{n+1} = f(\text{u}_n) \xrightarrow[\text{Simulations}]{\text{Calculs}} \text{Comportement asymptotique}\)
Simulation de suites
🔢
Suites arithmétiques : uₙ = u₀ + nr, comportement linéaire.
📊
Suites géométriques : uₙ = u₀·qⁿ, comportement exponentiel.
🔄
Suites récurrentes : uₙ₊₁ = f(uₙ), comportement variable.
📈
Convergence : Tendance vers une limite finie.
💡
Conseil : Toujours tracer les premiers termes pour observer le comportement
🔍
Attention : Certaines suites peuvent sembler converger mais diverger en réalité
⚡
Astuce : Chercher les points fixes pour analyser la convergence
📋
Méthode : Calculer suffisamment de termes pour identifier la tendance
✅
Vérification : Comparer avec des résultats théoriques si disponibles
Méthodologie de simulation :
  1. Identifier la relation : Reconnaître le type de suite
  2. Initialiser : Définir la valeur de départ
  3. Itérer : Appliquer la relation de récurrence
  4. Observer : Analyser le comportement des termes
  5. Conclure : Déterminer la nature de la convergence ou divergence
Règles fondamentales :
  • Les suites arithmétiques ont un comportement linéaire
  • Les suites géométriques convergent si |q| < 1
  • Les suites récurrentes peuvent avoir des comportements complexes
  • La simulation aide à conjecturer le comportement asymptotique
  • Il faut distinguer comportement observé et preuve mathématique
\(\text{u}_{n+1} = \text{f}(\text{u}_n) \text{ avec conditions initiales} \xrightarrow{\text{Simulation}} \text{Comportement}\)
Relation de récurrence
Simulation de suites Applications de programmation