Énoncé : "Convertir le nombre binaire 101101 en décimal, et le nombre décimal 83 en binaire."
Binaire → Décimal : Somme des puissances de 2 pondérées par les bits
Décimal → Binaire : Division successive par 2 et lecture des restes à l'envers
101101₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀
83 ÷ 2 = 41 reste 1
41 ÷ 2 = 20 reste 1
20 ÷ 2 = 10 reste 0
10 ÷ 2 = 5 reste 0
5 ÷ 2 = 2 reste 1
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1
En lisant les restes de bas en haut : 1010011₂
Vérification : 1×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 83 ✓
Le nombre binaire 101101 vaut 45 en décimal. Le nombre décimal 83 vaut 1010011 en binaire.
• Binaire vers décimal : Multiplier chaque bit par la puissance de 2 correspondante à sa position
• Décimal vers binaire : Diviser successivement par 2 et conserver les restes
• Vérification : Reconvertir pour s'assurer de la justesse
Énoncé : "Combien de valeurs différentes peut-on représenter avec 4 bits ? Et avec un octet (8 bits) ? Quel est l'intervalle de valeurs possibles dans chaque cas ?"
Avec n bits, chaque bit peut prendre 2 valeurs (0 ou 1)
Donc le nombre total de combinaisons possibles est 2 × 2 × ... × 2 (n fois) = 2ⁿ
Nombre de valeurs : 2⁴ = 16
Les valeurs vont de 0000₂ (0₁₀) à 1111₂ (15₁₀)
Intervalle : [0, 15]
Nombre de valeurs : 2⁸ = 256
Les valeurs vont de 00000000₂ (0₁₀) à 11111111₂ (255₁₀)
Intervalle : [0, 255]
Avec n bits, on peut représenter 2ⁿ valeurs différentes
Ces valeurs sont comprises dans l'intervalle [0, 2ⁿ-1]
Avec 4 bits, on peut représenter 16 valeurs différentes (de 0 à 15). Avec un octet (8 bits), on peut représenter 256 valeurs différentes (de 0 à 255).
• Dénombrement : n bits permettent de représenter 2ⁿ valeurs différentes
• Intervalle : Les valeurs sont dans l'intervalle [0, 2ⁿ-1]
• Octet : Unité de base composée de 8 bits (256 valeurs possibles)
Énoncé : "Coder les entiers 0, 15, 16, 255 en binaire sur 8 bits. Combien de bits sont nécessaires pour coder les entiers de 0 à 100 ?"
0₁₀ = 00000000₂ (7 zéros ajoutés à gauche)
15₁₀ = 00001111₂ (car 15 = 8+4+2+1 = 2³+2²+2¹+2⁰)
16₁₀ = 00010000₂ (car 16 = 2⁴)
255₁₀ = 11111111₂ (car 255 = 2⁸-1 = 256-1)
On cherche le plus petit n tel que 2ⁿ-1 ≥ 100
2⁶-1 = 63 < 100
2⁷-1 = 127 ≥ 100
Pour coder les entiers de 0 à 100, il faut 7 bits
Car avec 7 bits, on peut représenter 2⁷ = 128 valeurs différentes (0 à 127)
Le plus grand entier à coder est 100
100₁₀ = 1100100₂ (7 bits)
Donc 7 bits suffisent
Les codages sur 8 bits sont : 0=00000000, 15=00001111, 16=00010000, 255=11111111. Pour coder les entiers de 0 à 100, il faut 7 bits.
• Remplissage : Compléter avec des zéros à gauche pour atteindre le nombre de bits requis
• Nombre de bits : Pour coder les entiers de 0 à N, il faut ⌈log₂(N+1)⌉ bits
• Limite : n bits permettent de coder jusqu'à 2ⁿ-1
Énoncé : "Le code ASCII standard utilise 7 bits pour coder les caractères. Combien de caractères différents peuvent être codés ? Sachant que le code ASCII de 'A' est 65, 'B' est 66, etc., coder 'NSI' en binaire sur 8 bits par caractère."
ASCII standard utilise 7 bits
Nombre de caractères possibles : 2⁷ = 128
Codes de 0 à 127
Code de 'A' : 65
Code de 'B' : 66
Code de 'C' : 67
Donc code de 'N' : 65 + 13 = 78
Code de 'S' : 65 + 18 = 83
Code de 'I' : 65 + 8 = 73
'N' = 78₁₀ = 1001110₂ (sur 7 bits)
Sur 8 bits : 01001110
'S' = 83₁₀ = 1010011₂ → 01010011
'I' = 73₁₀ = 1001001₂ → 01001001
Le mot 'NSI' est codé comme la concaténation des codes binaires de chaque caractère :
01001110 01010011 01001001
Le code ASCII standard permet de coder 128 caractères différents (2⁷). Le mot 'NSI' est codé en binaire sur 8 bits par caractère comme : 01001110 01010011 01001001.
• ASCII 7 bits : 128 caractères possibles (codes 0-127)
• Code des majuscules : 'A'=65, 'B'=66, ..., 'Z'=90
• Encodage moderne : ASCII étendu sur 8 bits (0-255) pour inclure accents et symboles
Énoncé : "Un fichier texte contient 1000 caractères. Quelle est sa taille en octets ? Combien de caractères peut-on stocker dans 1 Ko (1024 octets) ? Si une image de 800×600 pixels utilise 24 bits par pixel, quelle est sa taille en Mo ?"
Chaque caractère est codé sur 1 octet (dans le cas ASCII)
1000 caractères = 1000 × 1 octet = 1000 octets
1 Ko = 1024 octets (puissance de 2 : 2¹⁰)
1 caractère = 1 octet
Donc 1024 octets = 1024 caractères
Dimensions : 800 × 600 pixels = 480 000 pixels
Chaque pixel utilise 24 bits
Donc 480 000 × 24 bits = 11 520 000 bits
11 520 000 bits = 11 520 000 ÷ 8 = 1 440 000 octets
1 Mo = 1024² = 1 048 576 octets
1 440 000 ÷ 1 048 576 ≈ 1.37 Mo
1 Ko = 2¹⁰ = 1024 octets
1 Mo = 2²⁰ = 1 048 576 octets
1 Go = 2³⁰ = 1 073 741 824 octets
Un fichier de 1000 caractères occupe 1000 octets. Dans 1 Ko (1024 octets), on peut stocker 1024 caractères. Une image de 800×600 pixels avec 24 bits par pixel occupe environ 1.37 Mo.
• Stockage texte : 1 caractère = 1 octet (dans le cas ASCII)
• Unités informatiques : 1 Ko = 1024 octets, 1 Mo = 1024² octets
• Images : Taille = largeur × hauteur × profondeur de couleur (en bits) ÷ 8
- Bit : Chiffre binaire (0 ou 1), unité de base de l'information
- Octet : Groupe de 8 bits, unité de base du stockage
- Dénombrement : n bits permettent de représenter 2ⁿ valeurs différentes
- Conversion : Méthodes pour passer entre bases binaire et décimale
- Codage : Façon de représenter des données avec des bits
- Le bit est l'unité la plus petite d'information en informatique
- L'octet est l'unité standard pour le codage des caractères
- Les unités de stockage sont des puissances de 2 (Ko=2¹⁰, Mo=2²⁰, Go=2³⁰)
- Le codage ASCII permet de représenter les caractères avec des nombres
