Énoncé : "Convertir le nombre binaire 11010110 en décimal. Convertir le nombre décimal 153 en binaire. Trouver la valeur maximale représentable sur 8 bits."
Binaire → Décimal : Somme des puissances de 2 pondérées par les bits
Décimal → Binaire : Division successive par 2 et lecture des restes
11010110₂ = 1×2⁷ + 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰
= 1×128 + 1×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1
= 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 214₁₀
153 ÷ 2 = 76 reste 1
76 ÷ 2 = 38 reste 0
38 ÷ 2 = 19 reste 0
19 ÷ 2 = 9 reste 1
9 ÷ 2 = 4 reste 1
4 ÷ 2 = 2 reste 0
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1
En lisant les restes de bas en haut : 153₁₀ = 10011001₂
Valeur maximale sur 8 bits : 2⁸ - 1 = 256 - 1 = 255
Soit 11111111₂
Le nombre binaire 11010110 vaut 214 en décimal. Le nombre décimal 153 vaut 10011001 en binaire. La valeur maximale représentable sur 8 bits est 255.
• Binaire vers décimal : Multiplier chaque bit par 2^(position)
• Décimal vers binaire : Diviser successivement par 2
• Valeur maximale : Sur n bits, max = 2ⁿ - 1
Énoncé : "Le code ASCII standard utilise 7 bits pour coder les caractères. Sachant que le code ASCII de 'A' est 65, 'a' est 97, et que les lettres se suivent dans l'ordre alphabétique, coder 'NSI' en binaire sur 8 bits par caractère. Donner le mot de passe obtenu en concaténant les codes binaires."
Code de 'A' = 65
Donc code de 'N' = 65 + 13 = 78 (N est la 14e lettre)
Code de 'S' = 65 + 18 = 83
Code de 'I' = 65 + 8 = 73
'N' = 78₁₀ = 1001110₂ → 01001110 (ajout d'un 0 à gauche)
'S' = 83₁₀ = 1010011₂ → 01010011
'I' = 73₁₀ = 1001001₂ → 01001001
Le mot 'NSI' est codé comme la juxtaposition des codes binaires :
01001110 01010011 01001001
Chaque caractère est représenté sur 8 bits
Total : 3 caractères × 8 bits = 24 bits
Le mot 'NSI' est codé en binaire sur 8 bits par caractère comme : 01001110 01010011 01001001.
• ASCII 7 bits : Codes de 0 à 127 (2⁷ valeurs)
• Majuscules : 'A'=65, 'B'=66, ..., 'Z'=90
• Minuscules : 'a'=97, 'b'=98, ..., 'z'=122
Énoncé : "Une image noir et blanc de 640×480 pixels est codée en binaire. Combien d'octets sont nécessaires pour la stocker ? Une image en couleurs utilise 24 bits par pixel (8 bits pour chaque canal RGB). Calculer la taille en Mo d'une image de 1920×1080 pixels."
Dimensions : 640 × 480 pixels = 307 200 pixels
Chaque pixel est codé sur 1 bit (noir ou blanc)
Total : 307 200 bits = 307 200 ÷ 8 = 38 400 octets
38 400 ÷ 1024 ≈ 37.5 Ko
Dimensions : 1920 × 1080 pixels = 2 073 600 pixels
Chaque pixel utilise 24 bits (8R + 8G + 8B)
Total : 2 073 600 × 24 = 49 766 400 bits
49 766 400 bits = 49 766 400 ÷ 8 = 6 220 800 octets
1 Mo = 1024² = 1 048 576 octets
6 220 800 ÷ 1 048 576 ≈ 5.93 Mo
Pour une image noir et blanc : 1 bit par pixel
Pour une image RVB : 3 octets par pixel (24 bits)
Une image noir et blanc de 640×480 pixels nécessite 37.5 Ko. Une image en couleurs de 1920×1080 pixels avec 24 bits par pixel nécessite environ 5.93 Mo.
• Image binaire : 1 bit par pixel (noir ou blanc)
• Image RVB : 24 bits par pixel (8R + 8G + 8B)
• Calcul : Taille = largeur × hauteur × bits_par_pixel ÷ 8
Énoncé : "Un signal audio est échantillonné à 44 100 Hz avec une résolution de 16 bits. Calculer la taille en Mo d'une minute de son stéréo (2 canaux). Expliquer les étapes de la numérisation d'un signal analogique."
Fréquence d'échantillonnage : 44 100 Hz
Temps : 1 minute = 60 secondes
Nombre total d'échantillons : 44 100 × 60 = 2 646 000 échantillons
Stéréo = 2 canaux (gauche et droit)
Total échantillons : 2 646 000 × 2 = 5 292 000 échantillons
Chaque échantillon est codé sur 16 bits
Nombre total de bits : 5 292 000 × 16 = 84 672 000 bits
84 672 000 bits = 84 672 000 ÷ 8 = 10 584 000 octets
10 584 000 ÷ 1024 = 10 335.94 Ko
10 335.94 ÷ 1024 ≈ 10.1 Mo
1. Échantillonnage : Prélèvement de valeurs à intervalles réguliers
2. Quantification : Arrondi des valeurs continues à des valeurs discrètes
3. Codage : Conversion des valeurs en binaire
Une minute de son stéréo échantillonné à 44 100 Hz avec une résolution de 16 bits occupe environ 10.1 Mo. La numérisation se fait en trois étapes : échantillonnage, quantification et codage.
• Échantillonnage : Fréquence en Hz = nombre d'échantillons par seconde
• Résolution : Nombre de bits par échantillon
• Stéréo : 2 canaux = double la taille
Énoncé : "Un disque dur de 1 To (1 téraoctet) est utilisé pour stocker des photos de 5 Mo chacune. Combien de photos peut-on stocker ? Si on compresse les photos avec un taux de compression de 10%, combien de photos supplémentaires peut-on stocker ?"
1 To = 10¹² octets (selon la norme SI)
5 Mo = 5 × 10⁶ octets
Nombre de photos = Capacité totale ÷ Taille par photo
Nombre = 10¹² ÷ (5 × 10⁶) = 10¹² ÷ 5×10⁶ = 200 000 photos
Taux de compression de 10% signifie que la taille est réduite de 90%
Nouvelle taille = 5 Mo × 0.1 = 0.5 Mo = 0.5 × 10⁶ octets
Nombre de photos = 10¹² ÷ (0.5 × 10⁶) = 2 000 000 photos
Avec compression : 2 000 000 photos
Sans compression : 200 000 photos
Photos supplémentaires = 2 000 000 - 200 000 = 1 800 000 photos
La compression de 10% permet de stocker 10 fois plus de photos
Ce qui correspond bien à une division par 10 de la taille
Sur un disque dur de 1 To, on peut stocker 200 000 photos de 5 Mo chacune sans compression. Avec une compression de 10%, on peut stocker 2 000 000 photos, soit 1 800 000 photos supplémentaires.
• Unités de stockage : 1 Ko = 10³, 1 Mo = 10⁶, 1 Go = 10⁹, 1 To = 10¹²
• Compression : Taux de 10% signifie que la taille est réduite à 10% de la taille originale
• Calcul : Capacité ÷ Taille_unitaire = Nombre_d'unités
- Entiers : Représentation binaire directe ou complément à deux
- Caractères : Tables de codage comme ASCII ou Unicode
- Images : Matrices de pixels avec codage de la couleur
- Sons : Échantillonnage et quantification du signal analogique
- Vidéos : Succession d'images avec synchronisation audio
- Le bit est l'unité fondamentale de l'information (0 ou 1)
- L'octet est l'unité standard pour le codage (8 bits)
- Les données numériques sont des suites de bits interprétées selon un codage
- La conversion entre bases numériques est une compétence fondamentale
