Pendule simple : Système constitué d'une masse attachée à un fil inextensible. En l'absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve et se transforme périodiquement entre énergie potentielle et cinétique.
- Identifier les deux positions extrêmes et la position d'équilibre
- Calculer l'énergie mécanique à une position connue
- Appliquer la conservation de l'énergie mécanique
- Exprimer l'énergie cinétique maximale en fonction de la vitesse
- Résoudre pour trouver la vitesse maximale
Le pendule est lâché sans vitesse initiale à une hauteur h = 10 cm = 0.1 m
Énergie cinétique initiale : \(E_{c,initiale} = 0\) J
Énergie potentielle initiale : \(E_{p,initiale} = mgh = 0.2 \times 9.81 \times 0.1 = 0.1962\) J
En bas de la trajectoire, la hauteur est nulle, la vitesse est maximale
Énergie potentielle finale : \(E_{p,finale} = 0\) J
Énergie cinétique finale : \(E_{c,finale} = \frac{1}{2}mv_{max}^2\) J
\(E_{m,initiale} = E_{m,finale}\)
\(E_{c,initiale} + E_{p,initiale} = E_{c,finale} + E_{p,finale}\)
\(0 + mgh = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + 0\)
\(mgh = \frac{1}{2}mv_{max}^2\)
\(gh = \frac{1}{2}v_{max}^2\) (la masse se simplifie)
\(v_{max}^2 = 2gh = 2 \times 9.81 \times 0.1 = 1.962\)
\(v_{max} = \sqrt{1.962} = 1.40\) m/s
La vitesse maximale du pendule en bas de sa trajectoire est de 1.40 m/s. Toute l'énergie potentielle initiale s'est convertie en énergie cinétique.
• Vitesse maximale : En position d'équilibre (bas de la trajectoire)
• Énergie potentielle maximale : Aux extrémités de l'oscillation
• Période : Indépendante de l'amplitude pour de petites oscillations
Descente sans frottement : L'énergie potentielle gravitationnelle se transforme intégralement en énergie cinétique. La vitesse finale dépend uniquement de la dénivellation.
Le skieur est immobile en haut de la pente : \(v_i = 0\) m/s, \(h_i = 30\) m
Énergie cinétique initiale : \(E_{c,i} = 0\) J
Énergie potentielle initiale : \(E_{p,i} = mgh = 75 \times 9.81 \times 30 = 22,072.5\) J
Le skieur est en bas de la pente : \(h_f = 0\) m, \(v_f = ?\) m/s
Énergie potentielle finale : \(E_{p,f} = 0\) J
Énergie cinétique finale : \(E_{c,f} = \frac{1}{2}mv_f^2\) J
\(E_{m,i} = E_{m,f}\)
\(E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}\)
\(0 + mgh = \frac{1}{2}mv_f^2 + 0\)
\(mgh = \frac{1}{2}mv_f^2\)
\(gh = \frac{1}{2}v_f^2\)
\(v_f^2 = 2gh = 2 \times 9.81 \times 30 = 588.6\)
\(v_f = \sqrt{588.6} = 24.3\) m/s
Le skieur atteint une vitesse de 24.3 m/s en bas de la pente. La vitesse finale ne dépend pas de la masse du skieur, mais seulement de la dénivellation.
• Vitesse finale : \(v = \sqrt{2gh}\) (indépendant de la masse)
• Accélération : Tous les objets tombent à la même vitesse dans le vide
• Énergie : Seule la dénivellation compte, pas le chemin suivi
Montagne russe : Système où l'énergie potentielle se convertit en énergie cinétique et inversement. La somme E_c + E_p reste constante en l'absence de frottement.
La wagonnette est au sommet de la première bosse : \(h_i = 50\) m, \(v_i = 0\) m/s
Énergie cinétique initiale : \(E_{c,i} = 0\) J
Énergie potentielle initiale : \(E_{p,i} = mgh_i = m \times 9.81 \times 50 = 490.5m\) J
Hauteur : \(h_f = 20\) m, Vitesse : \(v_f = ?\) m/s
Énergie potentielle finale : \(E_{p,f} = mgh_f = m \times 9.81 \times 20 = 196.2m\) J
Énergie cinétique finale : \(E_{c,f} = \frac{1}{2}mv_f^2\) J
\(E_{m,i} = E_{m,f}\)
\(E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}\)
\(0 + 490.5m = \frac{1}{2}mv_f^2 + 196.2m\)
\(490.5m = \frac{1}{2}mv_f^2 + 196.2m\)
\(490.5m - 196.2m = \frac{1}{2}mv_f^2\)
\(294.3m = \frac{1}{2}mv_f^2\)
\(294.3 = \frac{1}{2}v_f^2\) (la masse se simplifie)
\(v_f^2 = 2 \times 294.3 = 588.6\)
\(v_f = \sqrt{588.6} = 24.3\) m/s
La wagonnette de montagne russe a une vitesse de 24.3 m/s lorsqu'elle se trouve à 20 m du sol. L'énergie potentielle perdue se retrouve sous forme d'énergie cinétique.
• Hauteur maximale : Détermine l'énergie mécanique totale
• Vitesse maximale : Atteinte au point le plus bas
• Contraintes : La vitesse dépend de la différence de hauteur, pas du trajet
Oscillateur vertical : Système constitué d'une masse suspendue à un ressort. L'énergie se convertit entre énergie potentielle gravitationnelle, énergie potentielle élastique et énergie cinétique.
En haut et en bas de l'oscillation, la vitesse est nulle donc l'énergie cinétique est nulle.
À ces positions, l'énergie potentielle gravitationnelle est maximale ou minimale selon la position.
À la position d'équilibre, la vitesse est maximale donc l'énergie cinétique est maximale.
À ce point, l'énergie potentielle (gravitationnelle + élastique) est minimale.
Pendant l'oscillation, l'énergie se transforme continuellement :
Énergie potentielle (gravitationnelle + élastique) ↔ Énergie cinétique
Dans un système idéal sans frottement : \(E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe} = \text{constante}\)
Avec \(E_{pp}\) : énergie potentielle gravitationnelle et \(E_{pe}\) : énergie potentielle élastique
Pour une masse de 1 kg, les conversions d'énergie illustrent la conservation de l'énergie mécanique.
Dans un oscillateur vertical, l'énergie se convertit entre énergie cinétique, énergie potentielle gravitationnelle et énergie potentielle élastique. La somme de ces trois formes d'énergie reste constante en l'absence de frottement.
• Énergie potentielle gravitationnelle : \(E_{pp} = mgh\)
• Énergie potentielle élastique : \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\)
• Énergie cinétique : \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)
Système dissipatif : En présence de frottements, d'impact ou de déformations, l'énergie mécanique diminue car une partie se transforme en énergie thermique ou sonore.
En l'absence de frottement, une balle rebondirait à la même hauteur : conservation de l'énergie.
En réalité, il y a des frottements de l'air qui dissipent de l'énergie pendant le vol.
Lors de l'impact, une partie de l'énergie cinétique se transforme en énergie thermique et énergie sonore.
La balle et le sol subissent des déformations élastiques et plastiques, dissipant de l'énergie.
La balle remonte à une hauteur inférieure car elle a perdu de l'énergie mécanique.
À chaque rebond, la hauteur diminue jusqu'à l'arrêt complet de la balle.
Une balle rebondissante ne remonte jamais à la même hauteur car l'énergie mécanique n'est pas conservée. Une partie de l'énergie se dissipe en chaleur, en son et en déformations pendant l'impact, ce qui fait que la balle remonte à une hauteur inférieure.
• Système idéal : Conservation de l'énergie mécanique
• Système réel : Dissipation d'énergie par frottement, impact, déformation
• Énergie totale : Toujours conservée (premier principe de la thermodynamique)
- Système isolé : Aucune force extérieure ne travaille
- Forces conservatives : Seules des forces conservatives agissent (poids, force électrique, force élastique)
- Absence de frottement : Pas de dissipation d'énergie en chaleur ou en déformation
- Réversibilité : Le processus peut se dérouler dans les deux sens sans perte
- L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et potentielle
- Elle se conserve uniquement dans les systèmes conservatifs
- Les frottements transforment de l'énergie mécanique en énergie thermique
- La conversion entre E_c et E_p est réversible dans un système conservatif
- La conservation est une approximation valable dans de nombreux cas réels
| Système | Énergie initiale | Énergie finale | Conversion |
|---|---|---|---|
| Pendule | E_p max | E_c max | E_p ↔ E_c |
| Chute libre | E_p max | E_c max | E_p → E_c |
| Montagnes russes | E_p + E_c | E_p + E_c | E_p ↔ E_c |
| Oscillateur vertical | E_p + E_e | E_c max | E_p + E_e ↔ E_c |
