Classifications des mécanismes | Exercices corrigés

Concepts & Exercices

\(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{n-1} (6 - m_i)\)

Formule de Grübler

\(DL = 6 - L\)

Degrés de liberté

Liaisons

Pivot, Glissière, Hélicoïdale

Types

Chaînes cinématiques

Ouvertes, Fermées

Structures

Transmissions

Engrenages, Courroies, Chaînes

Types

🔗

Chaînes cinématiques : Ensemble de solides liés entre eux par des liaisons cinématiques.

⚙️

Degrés de liberté : Nombre de mouvements indépendants possibles d'un mécanisme.

🔄

Liaisons : Contraintes géométriques entre deux solides (pivot, glissière, sphérique).

Exercice 1

Analyser la structure d'un mécanisme bielle-manivelle et déterminer ses degrés de liberté.

Exercice 2

Classifier les liaisons dans un mécanisme de transmission par engrenages.

Exercice 3

Identifier la chaîne cinématique d'un bras manipulateur à 3 degrés de liberté.

Exercice 4

Analyser un mécanisme de suspension de véhicule et classifier ses liaisons.

Exercice 5

Étudier un mécanisme de transformation de mouvement dans une presse industrielle.

Corrigé : Exercices 1 à 3

1 Mécanisme bielle-manivelle

Définition :

Mécanisme bielle-manivelle : Chaîne cinématique fermée composée de 4 solides liés par des liaisons pivot.

Méthode d'analyse :

Identifier les solides du mécanisme
Compter les liaisons et leur mobilité
Appliquer la formule de Grübler
Classifier le mécanisme

F_piston

Données

n = 4 solides

L = 4 liaisons pivot

Formule

h = 6(n-1) - Σ(6-mᵢ)

Résultat

h = 1 DL

Étape 1 : Identifier les solides

Solide 1 : Bâti fixe, Solide 2 : Manivelle, Solide 3 : Bielle, Solide 4 : Piston

Étape 2 : Compter les liaisons

4 liaisons pivot : Bâti-Manivelle, Manivelle-Bielle, Bielle-Piston, Piston-Bâti

Étape 3 : Appliquer la formule de Grübler

\(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{n-1} (6 - m_i)\)

\(h = 6(4-1) - 4 \times (6-1) = 18 - 20 = -2\)

Étape 4 : Corriger pour les liaisons réelles

En réalité : \(h = 3(4-1) - 4 \times 2 = 9 - 8 = 1\) degré de liberté

Étape 5 : Classification

Mécanisme plan à 1 degré de liberté, chaîne cinématique fermée

\(h = 1\) degré de liberté

Réponse finale :

Le mécanisme bielle-manivelle a 1 degré de liberté (rotation de la manivelle)

Règles appliquées :

• Formule de Grübler : \(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{n-1} (6 - m_i)\)

• Chaîne cinématique : Fermée car les solides forment un circuit

• Degrés de liberté : 1 pour ce mécanisme plan

2 Transmission par engrenages

Définition :

Transmission par engrenages : Système de transmission de puissance par contact direct entre roues dentées.

Données

Z1 = 20 dents

Z2 = 40 dents

Rapport

i = Z2/Z1 = 2

Liaisons

2 pivots fixes

Étape 1 : Analyser la structure

Deux engrenages en contact, montés sur des axes fixes

Étape 2 : Identifier les liaisons

2 liaisons pivot fixes reliant les roues au bâti

Étape 3 : Compter les degrés de liberté

Chaque roue a 1 degré de liberté (rotation)

Le contact impose une relation cinématique

Étape 4 : Calculer le rapport de transmission

\(i = \frac{Z_2}{Z_1} = \frac{40}{20} = 2\)

Étape 5 : Classification

Transmission mécanique, chaîne ouverte, transformation de vitesse

\(i = \frac{Z_2}{Z_1} = 2\)

Réponse finale :

Le rapport de transmission est de 2:1, le mécanisme a 1 degré de liberté

Règles appliquées :

• Rapport de transmission : \(i = \frac{Z_{menée}}{Z_{motrice}}\)

• Engrenages droits : Contact en un point, transmission de couple

• Classification : Transmission mécanique directe

3 Bras manipulateur

Définition :

Bras manipulateur : Mécanisme articulé constitué de segments liés par des articulations.

Effecteur

Données

n = 4 solides

L = 3 liaisons pivot

Formule

h = 3(n-1) - Σmᵢ

Résultat

h = 3 DL

Étape 1 : Identifier les solides

Solide 1 : Bâti, Solide 2 : Premier segment, Solide 3 : Deuxième segment, Solide 4 : Pince

Étape 2 : Compter les liaisons

3 liaisons pivot : Bâti-Segment1, Segment1-Segment2, Segment2-Pince

Étape 3 : Analyser les degrés de liberté

Chaque liaison pivot ajoute 1 degré de liberté (rotation)

Étape 4 : Calculer le degré de mobilité

\(h = 3(n-1) - \sum_{i=1}^{n-1} m_i = 3(4-1) - 0 = 9 - 6 = 3\)

Étape 5 : Classification

Chaîne cinématique ouverte, 3 degrés de liberté, bras manipulateur

\(h = 3\) degrés de liberté

Réponse finale :

Le bras manipulateur a 3 degrés de liberté (3 rotations indépendantes)

Règles appliquées :

• Chaîne ouverte : Les solides ne forment pas de boucle fermée

• Bras manipulateur : Structure articulée pour positionner un effecteur

• Contrôle : Besoin de 3 actionneurs pour contrôler les 3 degrés de liberté

Corrigé : Exercices 4 à 5

4 Suspension de véhicule

Définition :

Suspension de véhicule : Système mécanique reliant la carrosserie aux roues pour absorber les irrégularités de la route.

Roue

Carrosserie

Données

n = 3 solides

L = 3 liaisons

Liaisons

2 pivots, 1 glissière

Résultat

h = 1 DL

Étape 1 : Analyser la structure

Système à 3 solides : Carrosserie, Bras de suspension, Roue

Étape 2 : Identifier les liaisons

Liaison pivot carrosserie-bras, liaison pivot bras-roulette, liaison glissière amortisseur

Étape 3 : Compter les degrés de liberté

Le système permet un mouvement vertical de la roue par rapport à la carrosserie

Étape 4 : Analyser la cinématique

Le mouvement vertical de la roue est limité par les bras de suspension

Étape 5 : Classification

Système plan à 1 degré de liberté, chaîne cinématique fermée

\(h = 1\) degré de liberté

Réponse finale :

La suspension a 1 degré de liberté (mouvement vertical de la roue)

Règles appliquées :

• Objectif : Absorber les vibrations et maintenir le contact avec la route

• Contraintes : Limitation du mouvement latéral et longitudinal

• Stabilité : Maintenir l'angle de la roue pendant le mouvement

5 Presse industrielle

Définition :

Presse industrielle : Machine outil transformant un mouvement rotatif en effort de pression linéaire.

Effort

Données

n = 4 solides

L = 4 liaisons

Transformation

Rotatif → Linéaire

Résultat

h = 1 DL

Étape 1 : Analyser le mécanisme

Système bielle-manivelle avec tête de presse linéaire

Étape 2 : Identifier les composants

Arbre moteur, manivelle, bielle, tête de presse, bâti

Étape 3 : Compter les degrés de liberté

1 degré d'entrée (rotation de l'arbre), 1 degré de sortie (translation de la tête)

Étape 4 : Analyser la transformation

Mouvement rotatif → Mouvement linéaire alternatif

Étape 5 : Classification

Chaîne cinématique fermée, transformation de mouvement

Transformation rotatif → linéaire

Réponse finale :

La presse transforme le mouvement rotatif en effort linéaire avec 1 degré de liberté

Règles appliquées :

• Transformation : Conversion de mouvement pour l'application industrielle

• Effort : Grande force obtenue par amplification mécanique

• Applications : Emboutissage, forgeage, assemblage

Cours bien détaillé

\(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{n-1} (6 - m_i)\)

Formule de Grübler

\(DL = 6 - L\)

Degrés de liberté

🔗

Chaînes cinématiques : Fermées (boucles) ou ouvertes (bras manipulateurs).

⚙️

Degrés de liberté : Mouvements indépendants d'un mécanisme (translation, rotation).

🔄

Liaisons : Pivot, glissière, sphérique, encastrement, appui simple.

📊

Classification : Plan, spatial, isostatique, hyperstatique.

💡

Conseil : Toujours identifier le bâti comme solide de référence

🔍

Attention : Ne pas oublier les liaisons multiples dans le comptage

⚡

Astuce : Utiliser la formule de Grübler pour vérifier les degrés de liberté

📋

Méthode : Toujours dessiner le schéma cinématique pour analyser

✅

Vérification : Comparer le résultat avec l'intuition physique

Méthodes d'analyse :

Schéma cinématique : Représentation simplifiée des solides et liaisons
Comptage des degrés de liberté : Utilisation de la formule de Grübler
Classification des liaisons : Pivot, glissière, sphérique, etc.
Chaînes cinématiques : Ouvertes ou fermées selon la structure

Principes fondamentaux :

Solide rigide : Corps indéformable dans l'analyse cinématique
Liaisons parfaites : Sans jeu ni frottement dans le modèle
Équilibre cinématique : Le nombre d'équations doit correspondre aux inconnues
Modélisation : Simplification des géométries réelles pour l'analyse

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