Vitesse tangentielle : Pour un point à une distance r du centre de rotation, \(v = \omega r\).
- Identifier le rayon de rotation
- Connaître la vitesse angulaire
- Appliquer la relation \(v = \omega r\)
- Vérifier les unités
Rayon de la roue : R = 0.3m, vitesse angulaire : ω = 10 rad/s
\(v = \omega \times R\)
\(v = 10 \times 0.3 = 3\) m/s
La vitesse est tangente au cercle, perpendiculaire au rayon
Accélération centripète : \(a_c = \omega^2 R = 10^2 \times 0.3 = 30\) m/s²
La vitesse tangentielle est de 3 m/s avec une accélération centripète de 30 m/s²
• Vitesse tangentielle : \(v = \omega r\) pour un point en rotation
• Accélération centripète : \(a_c = \omega^2 r\) toujours dirigée vers le centre
• Direction : La vitesse est tangente au cercle de rotation
Mécanisme bielle-manivelle : Convertit un mouvement rotatif en mouvement linéaire alternatif.
Bielle de longueur L = 0.2m, manivelle de rayon r = 0.05m
Position du piston : \(x = r\cos\theta + \sqrt{L^2 - r^2\sin^2\theta}\)
\(v_{piston} = \frac{dx}{dt} = -r\omega\sin\theta - \frac{r^2\omega\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^2 - r^2\sin^2\theta}}\)
Avec θ = 60°, ω = 10 rad/s : \(v_{piston} = -0.05 \times 10 \times \sin(60°) - \frac{(0.05)^2 \times 10 \times \sin(60°)\cos(60°)}{\sqrt{(0.2)^2 - (0.05)^2\sin^2(60°)}}\)
\(v_{piston} = -0.433 - 0.011 = -0.444\) m/s
La vitesse du piston est de -0.444 m/s (vers la gauche)
• Relation cinématique : Dérivation de la relation de position
• Composition des vitesses : Analyse des mouvements relatifs
• Applications : Moteurs thermiques, pompes, compresseurs
Rotation uniforme : Mouvement circulaire à vitesse angulaire constante, donc accélération angulaire nulle.
Rayon du disque : R = 0.15m, vitesse angulaire : ω = 8 rad/s
\(v = \omega R = 8 \times 0.15 = 1.2\) m/s
\(a_c = \omega^2 R = 8^2 \times 0.15 = 64 \times 0.15 = 9.6\) m/s²
Rotation uniforme ⇒ \(\dot{\omega} = 0\) ⇒ accélération tangentielle nulle
Accélération totale = accélération centripète = 9.6 m/s² vers le centre
La vitesse tangentielle est de 1.2 m/s et l'accélération centripète est de 9.6 m/s²
• Rotation uniforme : Vitesse angulaire constante
• Accélération centripète : Seule composante présente dans le mouvement circulaire uniforme
• Direction : L'accélération centripète est toujours dirigée vers le centre
Bras manipulateur plan : Robot à 2 articulations permettant de positionner un effecteur dans un plan.
Bras à 2 segments : L₁ = 0.3m, L₂ = 0.25m
\(x_B = L_1\cos\theta_1\), \(y_B = L_1\sin\theta_1\)
\(v_{Bx} = -L_1\omega_1\sin\theta_1\), \(v_{By} = L_1\omega_1\cos\theta_1\)
\(x_E = x_B + L_2\cos(\theta_1 + \theta_2)\)
\(y_E = y_B + L_2\sin(\theta_1 + \theta_2)\)
\(v_{Ex} = v_{Bx} - L_2(\omega_1 + \omega_2)\sin(\theta_1 + \theta_2)\)
\(v_{Ey} = v_{By} + L_2(\omega_1 + \omega_2)\cos(\theta_1 + \theta_2)\)
La vitesse du point E dépend des vitesses angulaires des deux articulations
• Composition des vitesses : Analyse cinématique des bras articulés
• Jacobien : Matrice reliant les vitesses articulaires aux vitesses opérationnelles
• Applications : Robots industriels, bras manipulateurs, machines-outils
Train épicycloïdal : Système d'engrenages planétaire avec un satellite tournant autour d'un planétaire.
Sun gear (planétaire) : Zp = 20 dents, Planet gears (satellites) : Zs = 40 dents
Équation de Willis : \(\omega_s - \omega_c = \frac{Z_p}{Z_s}(\omega_p - \omega_c)\)
Si le porte-satellites est fixe : \(i = 1 + \frac{Z_s}{Z_p} = 1 + \frac{40}{20} = 3\)
Vitesse des satellites par rapport au porte-satellites : \(\omega_{rel} = \omega_s - \omega_c\)
Boîtes de vitesses automatiques, transmissions de robotique, générateurs éoliens
Le rapport de réduction est de 3:1 dans ce train épicycloïdal
• Équation de Willis : Relation fondamentale des trains épicycloïdaux
• Réduction : Grand rapport dans un espace réduit
• Applications : Transmissions automatiques, réducteurs de vitesse, générateurs
- Relation de Varignon : \(\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}\)
- Composition des vitesses : Analyse des mouvements relatifs
- Torseurs cinématiques : Formalisme pour représenter les vitesses
- Centre instantané de rotation : Point où la vitesse est nulle
- Solide indéformable : Distance entre deux points constants
- Champ des vitesses : Relation linéaire entre les vitesses des points
- Accélération : Dérivée de la vitesse par rapport au temps
- Applications : Analyse des mécanismes, dimensionnement des machines
