Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) : Mouvement dont la trajectoire est une droite et l'accélération constante.
- Identifier le repère d'étude
- Déterminer la loi horaire du mouvement
- Calculer les grandeurs cinématiques (vitesse, accélération)
- Tracer les graphes correspondants
Un véhicule part du repos à t=0 et subit une accélération constante de 2 m/s². Calculer sa vitesse et sa position à t=5s.
v₀ = 0 m/s (repos initial), a = 2 m/s², t₀ = 0s, s₀ = 0m
Utilisation de la formule : v(t) = v₀ + at
v(5) = 0 + 2×5 = 10 m/s
Utilisation de la formule : s(t) = s₀ + v₀t + ½at²
s(5) = 0 + 0×5 + ½×2×5² = 0 + 0 + 25 = 25 m
À t=5s, le véhicule a une vitesse de 10 m/s et a parcouru 25 mètres.
• MRUV : Accélération constante, vitesse varie linéairement
• Unités : Toujours vérifier la cohérence des unités
• Conditions initiales : Prendre en compte les valeurs à t=0
Mécanisme bielle-manivelle : Convertit un mouvement rotatif en mouvement alternatif ou vice-versa.
Soit un mécanisme bielle-manivelle avec manivelle de longueur r=0.1m tournant à ω=10 rad/s. Calculer la vitesse du piston à θ=30°.
Position du piston : x = r cos(θ) + √(l² - r²sin²(θ))
Avec l la longueur de la bielle (l=0.3m)
v = dx/dt = -rω sin(θ) - (r²ω sin(θ)cos(θ))/√(l²-r²sin²(θ))
θ = 30° = π/6 rad
sin(π/6) = 0.5, cos(π/6) = √3/2 ≈ 0.866
v = -0.1×10×0.5 - (0.1²×10×0.5×0.866)/√(0.3²-0.1²×0.5²)
v = -0.5 - (0.0433)/√(0.09-0.0025) = -0.5 - (0.0433)/0.296 = -0.646 m/s
À θ=30°, la vitesse du piston est de -0.646 m/s (vers la gauche).
• Géométrie : Utilisation des relations trigonométriques
• Dérivation : Calcul de la dérivée temporelle pour la vitesse
• Signe : Interprétation physique du sens du mouvement
Rapport de transmission : i = ω₂/ω₁ = N₁/N₂ = Z₁/Z₂ où Z est le nombre de dents.
Un engrenage menant de 20 dents tourne à 120 tr/min et entraîne un engrenage mené de 60 dents. Calculer la vitesse de rotation du second.
Z₁ = 20 dents, Z₂ = 60 dents, n₁ = 120 tr/min
i = Z₁/Z₂ = 20/60 = 1/3
n₂ = n₁ × i = 120 × (1/3) = 40 tr/min
ω₁ = 2πn₁/60 = 2π×120/60 = 4π rad/s
ω₂ = 2πn₂/60 = 2π×40/60 = 4π/3 rad/s
L'engrenage mené tourne à 40 tr/min (soit 4π/3 rad/s).
• Conservation : Pas de glissement entre les dents
• Rapport : Inversement proportionnel au nombre de dents
• Conversion : Relation entre tours/min et rad/s
Mouvement circulaire uniforme (MCU) : Le mobile décrit un cercle à vitesse constante.
Un point matériel tourne sur un cercle de rayon R=0.5m à la vitesse angulaire ω=4 rad/s. Calculer sa vitesse linéaire et son accélération normale.
Vitesse linéaire : v = ωR
Accélération normale : aₙ = ω²R = v²/R
v = ωR = 4 × 0.5 = 2 m/s
aₙ = ω²R = 4² × 0.5 = 16 × 0.5 = 8 m/s²
Ou aₙ = v²/R = 2²/0.5 = 4/0.5 = 8 m/s²
L'accélération normale est dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète).
Le point a une vitesse linéaire de 2 m/s et une accélération normale de 8 m/s².
• Relation vitesse : Linéaire = angulaire × rayon
• Accélération : Seulement normale en MCU (pas tangentielle)
• Direction : L'accélération normale pointe vers le centre
Mécanisme came-suiveur : Transforme un mouvement rotatif continu en mouvement rectiligne intermittent.
Une came circulaire de rayon R=0.05m tourne à vitesse constante ω=6 rad/s. Le suiveur suit une loi de levée h(θ)=R(1-cos(θ)). Calculer la vitesse et l'accélération du suiveur à θ=π/3.
h(θ) = R(1-cos(θ)) = 0.05(1-cos(θ))
v = dh/dt = (dh/dθ) × (dθ/dt) = (dh/dθ) × ω
dh/dθ = R sin(θ) = 0.05 sin(θ)
v = 0.05 sin(θ) × ω
a = dv/dt = (dv/dθ) × ω = (d²h/dθ²) × ω²
d²h/dθ² = R cos(θ) = 0.05 cos(θ)
a = 0.05 cos(θ) × ω²
À θ = π/3, sin(π/3) = √3/2 ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5
v = 0.05 × 0.866 × 6 = 0.26 m/s
a = 0.05 × 0.5 × 6² = 0.05 × 0.5 × 36 = 0.9 m/s²
À θ=π/3, le suiveur a une vitesse de 0.26 m/s et une accélération de 0.9 m/s².
• Chaîne cinématique : Dérivation successive pour vitesse et accélération
• Temps : Utilisation de la relation dθ/dt = ω
• Interprétation : Analyse du comportement à un instant donné
- Méthode analytique : Écriture des équations paramétriques
- Méthode graphique : Construction des vecteurs vitesse et accélération
- Méthode vectorielle : Utilisation des torseurs cinématiques
- Méthode cinématique graphique : Polaires et plans de vitesses
- La vitesse est toujours tangente à la trajectoire
- L'accélération peut avoir des composantes normale et tangentielle
- En MCU, seule l'accélération normale existe
- Le nombre de degrés de liberté = paramètres indépendants
- Les liaisons réduisent les degrés de liberté
