Vecteur vitesse : Grandeur vectorielle qui caractérise la rapidité de changement de position d'un mobile.
- Identifier les positions successives du mobile à intervalles de temps réguliers
- Calculer les variations de position \(\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i+1} - \vec{r}_{i-1}\)
- Diviser par le double de l'intervalle de temps: \(\vec{v}_i = \frac{\Delta \vec{r}}{2\Delta t}\)
- Tracer un segment orienté du point \(M_i\) dans la direction de \(\Delta \vec{r}\)
Le mobile se déplace sur une droite. Ses positions successives sont \(M_0, M_1, M_2, M_3...\)
Pour chaque point \(M_i\), on calcule \(\Delta \vec{r}_i = \vec{r}_{i+1} - \vec{r}_{i-1}\)
\(\vec{v}_i = \frac{\Delta \vec{r}_i}{2\Delta t}\) où \(\Delta t = 0.1\) s (par exemple)
On trace un segment orienté du point \(M_i\) dans la direction de \(\vec{v}_i\) avec une longueur proportionnelle à la norme
La direction du vecteur vitesse est tangente à la trajectoire (ici, la droite elle-même)
Les vecteurs vitesse sont colinéaires à la trajectoire rectiligne, leur direction est constante mais leur norme peut varier selon le type de mouvement
• Définition : \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\) approximation discrète: \(\vec{v}_i = \frac{\vec{r}_{i+1} - \vec{r}_{i-1}}{2\Delta t}\)
• Tangence : Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire
• Sens : Le sens du vecteur vitesse correspond au sens du mouvement
Mouvement circulaire : Trajectoire qui suit une portion de cercle.
Le cycliste suit une trajectoire circulaire. Le rayon de courbure est constant.
Le vecteur vitesse est tangent au cercle à chaque point de la trajectoire
Le sens est dans le sens du mouvement (horaire ou anti-horaire)
Si le mouvement est uniforme, la norme est constante: \(|\vec{v}| = \omega r\) où \(\omega\) est la vitesse angulaire
La direction change continuellement, ce qui implique une accélération centripète
Le vecteur vitesse est tangent au cercle à chaque point, son sens suit le sens du mouvement, et sa norme dépend de la rapidité du cycliste
• Tangence : \(\vec{v}\) est tangent à la trajectoire circulaire
• Direction variable : La direction de \(\vec{v}\) change à chaque point
• Norme constante : Pour un mouvement circulaire uniforme, \(|\vec{v}| = \text{constante}\)
Trajectoire curviligne : Chemin non rectiligne suivi par un mobile.
L'avion suit une trajectoire complexe avec des parties rectilignes et courbes
Points de changement de direction, points d'inflexion, portions rectilignes
À chaque point, le vecteur vitesse est tangent à la courbe locale
Toujours dans le sens du mouvement de l'avion
La norme peut varier selon les phases de vol (accélération, décélération)
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire à chaque point, son sens suit le mouvement, et sa norme peut varier selon les phases de vol
• Tangence générale : \(\vec{v}\) est tangent à la trajectoire en tout point
• Sens constant : Le sens correspond au sens du mouvement
• Norme variable : Peut changer selon les conditions de vol
Chronophotographie : Succession d'images à intervalles de temps réguliers.
On mesure les distances entre positions successives à intervalles constants
\(v_{moy} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) entre chaque paire de positions
Si les distances augmentent régulièrement: MRUA (mouvement rectiligne uniformément accéléré)
\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) à partir des variations de vitesse
Une force constante produit un MRUA selon la 2e loi de Newton
Le MRUV est caractérisé par une augmentation linéaire de la vitesse et une distance parcourue quadratique en fonction du temps
• MRUV : \(v(t) = v_0 + at\)
• Position : \(x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
• Relation : \(v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)\)
Mouvement circulaire uniforme : Trajectoire circulaire à vitesse constante.
Le satellite subit la force gravitationnelle dirigée vers le centre de la Terre
\(T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\) où \(r\) est le rayon orbital
\(v = \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
Tangent au cercle orbital, perpendiculaire au rayon
\(a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}\) dirigée vers le centre
Le satellite a une vitesse constante en norme mais variable en direction, subissant une accélération centripète constante
• Vitesse orbitale : \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
• Accélération centripète : \(a_c = \frac{v^2}{r}\)
• Force centripète : \(F = ma_c = \frac{mv^2}{r}\)
Mouvement parabolique : Trajectoire d'un projectile soumis uniquement à la gravité.
Le projectile subit la gravité seulement, donc \(a_x = 0\) et \(a_y = -g\)
\(v_{0x} = v_0\cos\theta\) et \(v_{0y} = v_0\sin\theta\) où \(\theta\) est l'angle de tir
\(x(t) = v_{0x}t\) et \(y(t) = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\)
\(v_x(t) = v_{0x} = \text{constante}\) et \(v_y(t) = v_{0y} - gt\)
\(|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)}\)
Le vecteur vitesse change continuellement de direction et de norme, avec une composante horizontale constante et une composante verticale variable
• Composantes séparées : Mouvement horizontal uniforme, vertical uniformément varié
• Conservation horizontale : \(v_x = \text{constante}\)
• Accélération verticale : \(a_y = -g\)
Composition des vitesses : Addition vectorielle des vitesses relatives.
\(\vec{v}_{b/e}\) = vitesse du bateau par rapport à l'eau
\(\vec{v}_{e/s}\) = vitesse de l'eau par rapport au sol
\(\vec{v}_{b/s} = \vec{v}_{b/e} + \vec{v}_{e/s}\) (théorème de composition des vitesses)
Si \(\vec{v}_{b/e} = v_b\vec{i}\) et \(\vec{v}_{e/s} = v_e\vec{j}\), alors \(\vec{v}_{b/s} = v_b\vec{i} + v_e\vec{j}\)
\(|\vec{v}_{b/s}| = \sqrt{v_b^2 + v_e^2}\)
\(\tan\alpha = \frac{v_e}{v_b}\) où \(\alpha\) est l'angle par rapport à la direction du bateau
La vitesse résultante du bateau par rapport au sol est la somme vectorielle de sa vitesse propre et de celle du courant
• Composition vectorielle : \(\vec{v}_{absolue} = \vec{v}_{relative} + \vec{v}_{entrainement}\)
• Loi de composition : Addition vectorielle des vitesses
• Norme résultante : Calcul par le théorème de Pythagore
Effet du vent : Force extérieure modifiant le mouvement d'un objet.
Le vent exerce une force latérale sur l'objet, modifiant sa trajectoire
Initialement, \(v_{0x} = v_0\), \(v_{0y} = 0\). Le vent ajoute une composante \(v_w\) perpendiculaire
Horizontalement: \(x(t) = v_0t\), Verticalement: \(y(t) = \frac{1}{2}a_w t^2\) si \(a_w\) est l'accélération due au vent
\(v_x(t) = v_0\), \(v_y(t) = a_w t\)
La trajectoire devient courbe, dépendant de la force du vent
Le vecteur vitesse est modifié par l'action du vent, introduisant une composante perpendiculaire à la direction initiale
• Superposition des effets : Chaque force agit indépendamment
• Composantes vectorielles : Chaque composante évolue indépendamment
• Principe d'inertie : Sans force nette, le mouvement est rectiligne uniforme
Propulsion : Principe de réaction permettant le décollage.
Force de poussée vers le haut > poids de la fusée → accélération positive
\(F_{net} = F_{poussée} - mg = ma\) donc \(a = \frac{F_{poussée} - mg}{m}\)
\(v(t) = at = \frac{F_{poussée} - mg}{m}t\) pendant la phase de propulsion
La masse diminue à cause de la consommation de carburant: \(m(t) = m_0 - \dot{m}t\)
\(a(t) = \frac{F_{poussée}}{m(t)} - g\) augmente avec le temps
Le vecteur vitesse de la fusée augmente continuellement pendant la phase de propulsion, avec une accélération croissante
• 2e loi de Newton : \(\vec{F} = m\vec{a}\)
• Principe de réaction : Conservation de la quantité de mouvement
• Propulsion : La fusée expulse des gaz vers l'arrière
Freinage : Application d'une force opposée au mouvement.
Force de frottement des freins oppose le mouvement: \(F_{frein} = -ma\)
\(v(t) = v_0 - at\) où \(a > 0\) est l'accélération de freinage
\(v(t_f) = 0\) donc \(t_f = \frac{v_0}{a}\)
\(d = v_0t_f - \frac{1}{2}at_f^2 = \frac{v_0^2}{2a}\)
Le vecteur vitesse diminue en norme mais conserve sa direction jusqu'à l'arrêt
Le vecteur vitesse diminue linéairement pendant le freinage, avec une direction constante mais une norme décroissante
• MRUD : Mouvement rectiligne uniformément décéléré
• Relation vitesse-distance : \(v^2 = v_0^2 - 2ad\)
• Distance d'arrêt : Proportionnelle au carré de la vitesse initiale
