Image réelle : Image formée du côté opposé à l'objet par rapport à la lentille, \(\overline{OA'} > 0\).
f' = distance focale, OA = position de l'objet, OA' = position de l'image
f' = 10 cm = 0.1 m, \(\overline{OA} = -30\) cm = -0.3 m (signe négatif car objet réel)
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.3}\)
10 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{0.3}\)
10 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 3.33\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 10 - 3.33 = 6.67\)
\(\overline{OA'} = \frac{1}{6.67} = 0.15\) m = 15 cm
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{15}{-30} = -0.5\)
L'image est située à 15 cm de la lentille du côté opposé à l'objet, et le grandissement est de -0.5 (image réduite et inversée).
• Relation de conjugaison : \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
• Grandissement : γ = OA'/OA
• Interprétation : γ < 0 → image inversée, |γ| < 1 → image réduite
Condition de formation d'image réelle : \(\overline{OA} < -f'\) (distance objet > distance focale)
f' = 20 cm, \(\overline{OA} = -15\) cm
Condition pour image réelle : \(\overline{OA} < -f'\), soit \(\overline{OA} < -20\) cm
Ici, \(\overline{OA} = -15\) cm, donc \(\overline{OA} > -20\) cm
Comme \(\overline{OA} > -f'\), l'image est virtuelle
\(\frac{1}{0.2} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.15}\)
5 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 6.67\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = -1.67\)
\(\overline{OA'} = -0.6\) m = -60 cm
L'image est virtuelle car \(\overline{OA'} < 0\). Elle est située à 60 cm de la lentille du même côté que l'objet.
• Condition de formation : \(\overline{OA} < -f'\) pour image réelle
• Nature de l'image : \(\overline{OA'} > 0\) → réelle, \(\overline{OA'} < 0\) → virtuelle
• Calcul : La relation de conjugaison confirme la nature de l'image
Grandissement : γ = A'B'/AB = OA'/OA. γ < 0 pour image inversée.
f' = 12 cm = 0.12 m, γ = -2 (image réelle et agrandie 2 fois)
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = -2\)
Donc \(\overline{OA'} = -2 \times \overline{OA}\)
\(\frac{1}{0.12} = \frac{1}{-2 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
8.33 = -\(\frac{1}{2 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
8.33 = -\(\frac{1}{2 \times \overline{OA}} - \frac{2}{2 \times \overline{OA}}\)
8.33 = -\(\frac{3}{2 \times \overline{OA}}\)
\(\overline{OA} = -\frac{3}{2 \times 8.33} = -\frac{3}{16.66} = -0.18\) m = -18 cm
\(\overline{OA'} = -2 \times (-18) = 36\) cm
L'objet est à 18 cm de la lentille et l'image est à 36 cm de la lentille du côté opposé.
• Grandissement : γ = OA'/OA
• Substitution : Remplacer OA' en fonction de OA dans la relation de conjugaison
• Calcul algébrique : Manipulation des fractions rationnelles
Image réelle : Formée du côté opposé à l'objet, observable sur un écran.
f' = 8 cm = 0.08 m, \(\overline{OA} = -20\) cm = -0.2 m, AB = 3 cm
\(\frac{1}{0.08} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.2}\)
12.5 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 5\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 7.5\)
\(\overline{OA'} = 0.133\) m = 13.3 cm
\(\overline{OA'} > 0\) → l'image est réelle
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{13.3}{-20} = -0.67\)
A'B' = γ × AB = -0.67 × 3 = -2 cm
L'image est réelle, située à 13.3 cm de la lentille, inversée et mesure 2 cm de hauteur.
• Position : Calculée avec la relation de conjugaison
• Nature : \(\overline{OA'} > 0\) → image réelle
• Taille : A'B' = |γ| × AB
Image réelle sur un écran : \(\overline{OA'} > 0\), l'image est observable physiquement.
f' = 10 cm = 0.1 m, \(\overline{OA'} = +40\) cm = +0.4 m
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{0.4} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
10 = 2.5 - \(\frac{1}{\overline{OA}}\)
\(-\frac{1}{\overline{OA}} = 10 - 2.5 = 7.5\)
\(\frac{1}{\overline{OA}} = -7.5\)
\(\overline{OA} = \frac{1}{-7.5} = -0.133\) m = -13.3 cm
\(\overline{OA} < -f'\) → -13.3 < -10 → l'image est bien réelle
L'objet est situé à 13.3 cm de la lentille du côté opposé à l'écran.
• Relation de conjugaison : \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
• Calcul inverse : On peut déterminer OA connaissant f' et OA'
• Vérification : \(\overline{OA} < -f'\) garantit une image réelle
Distance focale : Caractéristique de la lentille, indépendante des positions objet/image.
\(\overline{OA} = -25\) cm = -0.25 m, \(\overline{OA'} = +16.67\) cm = +0.1667 m
\(\frac{1}{f'} = \frac{1}{0.1667} - \frac{1}{-0.25}\)
\(\frac{1}{f'} = 6 + 4 = 10\)
f' = 1/10 = 0.1 m = 10 cm
\(\overline{OA} < -f'\) → -25 < -10 → l'image est bien réelle
La distance focale de la lentille est de 10 cm.
• Relation de conjugaison : Peut servir à déterminer f' connaissant OA et OA'
• Caractéristique de la lentille : f' est fixe pour une lentille donnée
• Vérification : \(\overline{OA} < -f'\) garantit une image réelle
Image inversée : γ < 0, ce qui signifie que l'image est renversée par rapport à l'objet.
f' = 15 cm = 0.15 m, \(\overline{OA} = -25\) cm = -0.25 m
\(\frac{1}{0.15} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.25}\)
6.67 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 4\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 2.67\)
\(\overline{OA'} = 0.375\) m = 37.5 cm
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{37.5}{-25} = -1.5\)
γ = -1.5 : image inversée et agrandie 1.5 fois
L'image est située à 37.5 cm de la lentille, inversée et agrandie 1.5 fois.
• Grandissement : γ = OA'/OA
• Signe du grandissement : γ < 0 → image inversée
• Taille de l'image : A'B' = |γ| × AB
Distance objet-image : D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)|, distance entre l'objet et son image.
f' = 8 cm = 0.08 m, \(\overline{OA} = -12\) cm = -0.12 m
\(\frac{1}{0.08} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.12}\)
12.5 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 8.33\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 4.17\)
\(\overline{OA'} = 0.24\) m = 24 cm
D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)| = |24 - (-12)| = |24 + 12| = 36 cm
L'image est située 36 cm plus loin que l'objet par rapport à la lentille
La distance entre l'objet et son image est de 36 cm.
• Distance objet-image : D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)|
• Calcul complet : Position objet → position image → distance
• Application : Utile pour la photographie, projection
Grandissement unitaire : |γ| = 1, l'image a la même taille que l'objet.
f' = 20 cm = 0.2 m, |γ| = 1 (image de même taille)
Pour une image réelle, γ < 0, donc γ = -1
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = -1\)
Donc \(\overline{OA'} = -\overline{OA}\)
\(\frac{1}{0.2} = \frac{1}{-\overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
5 = -\(\frac{1}{\overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
5 = -\(\frac{2}{\overline{OA}}\)
\(\overline{OA} = -\frac{2}{5} = -0.4\) m = -40 cm
\(\overline{OA'} = -(-40) = 40\) cm
L'objet est à 40 cm de la lentille et l'image est à 40 cm de la lentille du côté opposé.
• Grandissement unitaire : γ = -1 pour une image réelle de même taille
• Combinaison relations : Grandissement + conjugaison pour résoudre
• Symétrie : OA' = -OA pour γ = -1
Grandissement positif : |γ| > 1 → image agrandie, γ < 0 pour image réelle.
f' = 10 cm = 0.1 m, |γ| = 3 (image agrandie 3 fois)
Pour une image réelle, γ < 0, donc γ = -3
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = -3\)
Donc \(\overline{OA'} = -3 \times \overline{OA}\)
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{-3 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
10 = -\(\frac{1}{3 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
10 = -\(\frac{1}{3 \times \overline{OA}} - \frac{3}{3 \times \overline{OA}}\)
10 = -\(\frac{4}{3 \times \overline{OA}}\)
\(\overline{OA} = -\frac{4}{3 \times 10} = -\frac{4}{30} = -0.133\) m = -13.3 cm
\(\overline{OA'} = -3 \times (-13.3) = 40\) cm
L'objet est à 13.3 cm de la lentille et l'image est à 40 cm de la lentille du côté opposé.
• Grandissement : γ = -3 pour une image réelle agrandie 3 fois
• Combinaison relations : Grandissement + conjugaison pour résoudre
• Calcul algébrique : Manipulation des fractions rationnelles
