Distance focale : Distance entre le centre optique O et le foyer image F'. f' > 0 pour une lentille convergente.
f' = distance focale, OA = position de l'objet, OA' = position de l'image
f' = 10 cm = 0.1 m, \(\overline{OA} = -30\) cm = -0.3 m (signe négatif car objet réel)
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.3}\)
10 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{0.3}\)
10 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 3.33\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 10 - 3.33 = 6.67\)
\(\overline{OA'} = \frac{1}{6.67} = 0.15\) m = 15 cm
L'image est située à 15 cm de la lentille du côté opposé à l'objet.
• Relation de conjugaison : \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
• Convention de signes : \(\overline{OA} < 0\) pour objet réel, \(\overline{OA'} > 0\) pour image réelle
• Interprétation : Image réelle, inversée, située après la lentille
Vergence : C = 1/f', exprimée en dioptries (δ). C > 0 pour une lentille convergente.
C = vergence, f' = distance focale (en mètres)
C = +5 δ, donc f' = 1/C = 1/5 = 0.2 m = 20 cm
f' = 0.2 m, \(\overline{OA} = -0.4\) m
\(\frac{1}{0.2} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.4}\)
5 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 2.5\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 5 - 2.5 = 2.5\)
\(\overline{OA'} = \frac{1}{2.5} = 0.4\) m = 40 cm
La distance focale est de 20 cm et l'image est située à 40 cm de la lentille.
• Vergence : C = 1/f', unité : dioptrie (δ)
• Relation de conjugaison : Permet de relier positions objet et image
• Signe de la vergence : C > 0 pour lentille convergente
Grandissement : γ = A'B'/AB = OA'/OA. γ < 0 pour image inversée.
γ = grandissement, AB = taille objet, A'B' = taille image
f' = 10 cm = 0.1 m, \(\overline{OA} = -15\) cm = -0.15 m, AB = 2 cm
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.15}\)
10 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 6.67\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 3.33\)
\(\overline{OA'} = 0.3\) m = 30 cm
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{30}{-15} = -2\)
A'B' = γ × AB = -2 × 2 = -4 cm
L'image est située à 30 cm de la lentille, renversée et mesure 4 cm de hauteur.
• Grandissement : γ = OA'/OA = A'B'/AB
• Signe du grandissement : γ < 0 → image inversée
• Taille de l'image : A'B' = |γ| × AB
Image réelle renversée : Image formée après la lentille, γ < 0.
f' = 8 cm = 0.08 m, \(\overline{OA'} = +20\) cm = +0.2 m (image réelle)
\(\frac{1}{0.08} = \frac{1}{0.2} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
12.5 = 5 - \(\frac{1}{\overline{OA}}\)
\(-\frac{1}{\overline{OA}} = 12.5 - 5 = 7.5\)
\(\frac{1}{\overline{OA}} = -7.5\)
\(\overline{OA} = \frac{1}{-7.5} = -0.133\) m = -13.3 cm
L'objet est situé à 13.3 cm de la lentille du côté opposé à l'image.
• Relation de conjugaison : \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
• Convention de signes : \(\overline{OA'} > 0\) pour image réelle
• Calcul inverse : On peut déterminer OA à partir de OA' et f'
Image virtuelle : Image formée du même côté que l'objet, \(\overline{OA'} < 0\).
f' = 15 cm = 0.15 m, \(\overline{OA} = -25\) cm = -0.25 m
\(\frac{1}{0.15} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.25}\)
6.67 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 4\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 6.67 - 4 = 2.67\)
\(\overline{OA'} = \frac{1}{2.67} = 0.375\) m = 37.5 cm
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{37.5}{-25} = -1.5\)
γ = -1.5 : image renversée et agrandie 1.5 fois
L'image est virtuelle, située à 37.5 cm de la lentille, renversée et agrandie 1.5 fois.
• Image virtuelle : \(\overline{OA'} < 0\), mais ici on a \(\overline{OA'} > 0\), donc erreur dans l'énoncé
• Correction : Pour image virtuelle, \(\overline{OA'} < 0\), donc \(\overline{OA} < f'\)
• Grandissement : |γ| > 1 → image agrandie
Objet virtuel : Objet du côté de l'image, \(\overline{OA} > 0\).
C = +10 δ, donc f' = 1/C = 1/10 = 0.1 m = 10 cm
f' = 0.1 m, \(\overline{OA'} = +0.3\) m (image réelle)
\(\frac{1}{0.1} = \frac{1}{0.3} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
10 = 3.33 - \(\frac{1}{\overline{OA}}\)
\(-\frac{1}{\overline{OA}} = 10 - 3.33 = 6.67\)
\(\frac{1}{\overline{OA}} = -6.67\)
\(\overline{OA} = -0.15\) m = -15 cm
\(\overline{OA} < 0\) : l'objet est réel
L'objet est réel et situé à 15 cm de la lentille.
• Convention de signes : \(\overline{OA} < 0\) → objet réel
• Relation de conjugaison : Permet de déterminer la nature de l'objet
• Position de l'objet : Calculée à partir de f' et OA'
Distance focale : Caractéristique de la lentille, indépendante des positions objet/image.
\(\overline{OA} = -20\) cm = -0.2 m, \(\overline{OA'} = +40\) cm = +0.4 m
\(\frac{1}{f'} = \frac{1}{0.4} - \frac{1}{-0.2}\)
\(\frac{1}{f'} = 2.5 + 5 = 7.5\)
f' = 1/7.5 = 0.133 m = 13.3 cm
f' > 0 : c'est bien une lentille convergente
La distance focale de la lentille est de 13.3 cm.
• Relation de conjugaison : Peut servir à déterminer f' connaissant OA et OA'
• Caractéristique de la lentille : f' est fixe pour une lentille donnée
• Vérification : f' > 0 pour lentille convergente
Grandissement positif : Image droite, |γ| > 1 → image agrandie.
f' = 20 cm = 0.2 m, γ = -3 (image réelle et agrandie 3 fois)
\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = -3\)
Donc \(\overline{OA'} = -3 \times \overline{OA}\)
\(\frac{1}{0.2} = \frac{1}{-3 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
5 = -\(\frac{1}{3 \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}\)
5 = -\(\frac{1}{3 \times \overline{OA}} - \frac{3}{3 \times \overline{OA}}\)
5 = -\(\frac{4}{3 \times \overline{OA}}\)
\(\overline{OA} = -\frac{4}{3 \times 5} = -\frac{4}{15} = -0.267\) m = -26.7 cm
L'objet est situé à 26.7 cm de la lentille.
• Combinaison relations : Grandissement + conjugaison pour résoudre
• Substitution : Remplacer OA' en fonction de OA
• Calcul algébrique : Manipulation des fractions rationnelles
Distance objet-image : D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)|, distance entre l'objet et son image.
f' = 12 cm = 0.12 m, \(\overline{OA} = -36\) cm = -0.36 m
\(\frac{1}{0.12} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0.36}\)
8.33 = \(\frac{1}{\overline{OA'}} + 2.78\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = 5.55\)
\(\overline{OA'} = 0.18\) m = 18 cm
D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)| = |18 - (-36)| = |18 + 36| = 54 cm
L'image est située 54 cm plus loin que l'objet par rapport à la lentille
La distance entre l'objet et son image est de 54 cm.
• Distance objet-image : D = |\(\overline{OA'} - \overline{OA}\)|
• Calcul complet : Position objet → position image → distance
• Application : Utile pour la photographie, projection
Condition de Gauss : Pour former une image nette, OA' = D - |OA|, avec D = distance objet-écran.
f' = 8 cm = 0.08 m, D = 32 cm = 0.32 m
Soit x la distance de l'objet à la lentille, alors l'image est à (0.32 - x) de la lentille
\(\overline{OA} = -x\), \(\overline{OA'} = 0.32 - x\)
\(\frac{1}{0.08} = \frac{1}{0.32 - x} - \frac{1}{-x}\)
12.5 = \(\frac{1}{0.32 - x} + \frac{1}{x}\)
12.5 = \(\frac{x + (0.32 - x)}{x(0.32 - x)} = \frac{0.32}{x(0.32 - x)}\)
12.5x(0.32 - x) = 0.32
12.5x(0.32 - x) = 0.32
4x - 12.5x² = 0.32
12.5x² - 4x + 0.32 = 0
Δ = 16 - 4×12.5×0.32 = 16 - 16 = 0
x = 4/(2×12.5) = 4/25 = 0.16 m = 16 cm
La lentille doit être placée à 16 cm de l'objet (ou de l'écran, car 32-16=16).
• Configuration objet-écran : D = |OA| + |OA'|
• Équation quadratique : Résolution par la méthode du discriminant
• Symétrie : Cas particulier où objet et image sont équidistants
