Valeur moyenne : \(\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)
Incertitude-type : \(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}}\) où s est l'écart-type expérimental
\(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)
s = écart-type expérimental = \(\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\)
\(\overline{x} = \frac{12,3 + 12,5 + 12,4 + 12,2 + 12,6}{5} = \frac{62,0}{5} = 12,4\) cm
(12,3 - 12,4)² = (-0,1)² = 0,01
(12,5 - 12,4)² = (0,1)² = 0,01
(12,4 - 12,4)² = (0)² = 0
(12,2 - 12,4)² = (-0,2)² = 0,04
(12,6 - 12,4)² = (0,2)² = 0,04
\(s = \sqrt{\frac{0,01 + 0,01 + 0 + 0,04 + 0,04}{5-1}} = \sqrt{\frac{0,10}{4}} = \sqrt{0,025} = 0,16\) cm
\(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,16}{\sqrt{5}} = \frac{0,16}{2,24} = 0,07\) cm
La valeur moyenne est 12,4 cm avec une incertitude-type de 0,07 cm.
• Valeur moyenne : Somme des mesures divisée par le nombre de mesures
• Écart-type : Mesure de la dispersion des valeurs
• Incertitude-type : Diminue avec √n lorsque n augmente
Incertitude de lecture : Pour un instrument gradué, on suppose une distribution rectangulaire et u = Δ/√12 où Δ est la graduation.
La balance a une précision de ±0,01 g, donc Δ = 0,01 g
\(u = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} = \frac{0,01}{\sqrt{12}} = \frac{0,01}{3,46} = 0,0029\) g
u ≈ 0,003 g
L'incertitude-type pour une mesure unique avec cette balance est de 0,003 g.
• Distribution rectangulaire : u = Δ/√12 pour instruments gradués
• Précision de l'instrument : Demi-graduation pour erreur de lecture
• Arrondi : 1 chiffre significatif pour l'incertitude
Incertitude-type de la moyenne : \(u(\overline{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\) où s est l'écart-type expérimental.
Moyenne \(\overline{x} = 25,3\) °C, écart-type s = 0,4 °C, nombre de mesures n = 10
\(u(\overline{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,4}{\sqrt{10}} = \frac{0,4}{3,16} = 0,126\) °C
u(25,3) ≈ 0,1 °C
L'incertitude-type de la moyenne est de 0,1 °C.
• Incertitude de la moyenne : Plus petite que l'incertitude d'une mesure individuelle
• Formule : \(u(\overline{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)
• Avantage : Répéter les mesures réduit l'incertitude finale
Propagation linéaire : Pour z = f(x,y), \(\Delta z = |\frac{\partial f}{\partial x}| \cdot \Delta x + |\frac{\partial f}{\partial y}| \cdot \Delta y\)
Aire A = L × l, avec L = 10,0 ± 0,1 cm et l = 5,0 ± 0,1 cm
A = 10,0 × 5,0 = 50,0 cm²
\(\frac{\partial A}{\partial L} = l = 5,0\) et \(\frac{\partial A}{\partial l} = L = 10,0\)
\(\Delta A = |\frac{\partial A}{\partial L}| \cdot \Delta L + |\frac{\partial A}{\partial l}| \cdot \Delta l\)
\(\Delta A = 5,0 \times 0,1 + 10,0 \times 0,1 = 0,5 + 1,0 = 1,5\) cm²
L'aire est de 50,0 ± 1,5 cm².
• Propagation linéaire : Addition des contributions de chaque variable
• Dérivées partielles : Taux de variation de la grandeur par rapport à chaque variable
• Résultat : Aire = 50,0 ± 1,5 cm²
Erreur de lecture : Incertitude due à la difficulté de lire une graduation précise.
La burette est graduée au dixième de mL, donc Δ = 0,1 mL
On suppose que l'on peut lire à la moitié de la graduation, donc erreur de lecture = ±0,05 mL
Pour une distribution rectangulaire : \(u = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} = \frac{0,1}{\sqrt{12}} = \frac{0,1}{3,46} = 0,029\) mL
u ≈ 0,03 mL
L'incertitude-type de lecture est de 0,03 mL.
• Erreur de lecture : Généralement ±½ graduation
• Distribution rectangulaire : u = Δ/√12
• Précision : Plus fine pour les instruments gradués finement
Propagation pour quotient : Pour v = d/t, \(\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta t}{t}\)
d = 100,0 ± 0,5 m, t = 10,0 ± 0,1 s
v = d/t = 100,0/10,0 = 10,0 m/s
\(\frac{\Delta d}{d} = \frac{0,5}{100,0} = 0,005\)
\(\frac{\Delta t}{t} = \frac{0,1}{10,0} = 0,010\)
\(\frac{\Delta v}{v} = 0,005 + 0,010 = 0,015\)
\(\Delta v = 0,015 \times 10,0 = 0,15\) m/s
Δv ≈ 0,2 m/s (1 chiffre significatif)
La vitesse est de 10,0 ± 0,2 m/s.
• Propagation pour quotient : Incertitudes relatives s'ajoutent
• Formule : \(\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta t}{t}\)
• Arrondi : Incertitude à 1 chiffre significatif
Incertitude élargie : U = k·u(x) où k est le facteur d'élargissement (k=2 pour 95% de confiance).
\(\overline{x} = \frac{25,1 + 24,9 + 25,2 + 25,0 + 25,3}{5} = \frac{125,5}{5} = 25,1\) g
(25,1 - 25,1)² = 0, (24,9 - 25,1)² = 0,04, (25,2 - 25,1)² = 0,01, (25,0 - 25,1)² = 0,01, (25,3 - 25,1)² = 0,04
\(s = \sqrt{\frac{0 + 0,04 + 0,01 + 0,01 + 0,04}{5-1}} = \sqrt{\frac{0,10}{4}} = \sqrt{0,025} = 0,16\) g
\(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,16}{\sqrt{5}} = \frac{0,16}{2,24} = 0,07\) g
U = k·u(x) = 2 × 0,07 = 0,14 g ≈ 0,1 g
La moyenne est 25,1 ± 0,1 g avec une incertitude élargie.
• Incertitude élargie : U = k·u(x) avec k facteur de couverture
• Niveau de confiance : k = 2 correspond à environ 95%
• Interprétation : La vraie valeur est comprise dans l'intervalle avec 95% de probabilité
Propagation pour quotient : Pour C = n/V, \(\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta n}{n} + \frac{\Delta V}{V}\)
n = 0,025 ± 0,001 mol, V = 0,100 ± 0,001 L
C = n/V = 0,025/0,100 = 0,25 mol/L
\(\frac{\Delta n}{n} = \frac{0,001}{0,025} = 0,04\)
\(\frac{\Delta V}{V} = \frac{0,001}{0,100} = 0,01\)
\(\frac{\Delta C}{C} = 0,04 + 0,01 = 0,05\)
\(\Delta C = 0,05 \times 0,25 = 0,0125\) mol/L
ΔC ≈ 0,01 mol/L (1 chiffre significatif)
La concentration est de 0,25 ± 0,01 mol/L.
• Propagation pour quotient : Incertitudes relatives s'ajoutent
• Formule : \(\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta n}{n} + \frac{\Delta V}{V}\)
• Chimie : Cette méthode est essentielle pour les dosages
Volume d'une sphère : V = (4/3)πr³ = (4/3)π(d/2)³ = πd³/6
Propagation pour puissance : Pour V = ad³, \(\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta d}{d}\)
d = 10,0 ± 0,1 cm
r = d/2 = 10,0/2 = 5,0 cm
V = (4/3)πr³ = (4/3)π(5,0)³ = (4/3)π × 125 = 523,6 cm³
Pour V = ad³, l'exposant est 3, donc : \(\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta d}{d} = 3 \times \frac{0,1}{10,0} = 3 \times 0,01 = 0,03\)
\(\Delta V = 0,03 \times 523,6 = 15,7\) cm³ ≈ 16 cm³
Le volume est de 524 ± 16 cm³.
• Propagation pour puissance : Si y = axⁿ, alors \(\frac{\Delta y}{y} = n\frac{\Delta x}{x}\)
• Importance : L'incertitude est amplifiée par l'exposant
• Précision : Plus la grandeur est élevée à une puissance, plus l'incertitude est critique
Écart-type expérimental : \(s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\)
Incertitude-type : \(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)
\(\overline{x} = \frac{4,2 + 4,5 + 4,3 + 4,4 + 4,6 + 4,1 + 4,4}{7} = \frac{30,5}{7} = 4,36\) (arrondi à 4,4)
(4,2 - 4,36)² = (-0,16)² = 0,0256
(4,5 - 4,36)² = (0,14)² = 0,0196
(4,3 - 4,36)² = (-0,06)² = 0,0036
(4,4 - 4,36)² = (0,04)² = 0,0016
(4,6 - 4,36)² = (0,24)² = 0,0576
(4,1 - 4,36)² = (-0,26)² = 0,0676
(4,4 - 4,36)² = (0,04)² = 0,0016
Somme des carrés = 0,0256 + 0,0196 + 0,0036 + 0,0016 + 0,0576 + 0,0676 + 0,0016 = 0,1772
\(s = \sqrt{\frac{0,1772}{7-1}} = \sqrt{\frac{0,1772}{6}} = \sqrt{0,0295} = 0,17\) (arrondi à 0,17)
\(u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,17}{\sqrt{7}} = \frac{0,17}{2,65} = 0,064\) (arrondi à 0,06)
Moyenne = 4,4, écart-type = 0,17, incertitude-type = 0,06.
• Statistiques descriptives : Moyenne, écart-type, incertitude-type
• Nombre de mesures : n = 7, donc n-1 dans le dénominateur de s
• Arrondi : Garder suffisamment de chiffres pour les calculs intermédiaires
