Fonction de production linéaire : Q = aL + bK, où a et b sont des constantes positives.
Substituer les valeurs de L et K dans la fonction de production.
Soit Q = 2L + 3K
L = 10 travailleurs
K = 5 machines
Q = 2(10) + 3(5) = 20 + 15 = 35 unités
35 unités sont produites avec 10 travailleurs et 5 machines
La production est proportionnelle à l'augmentation des facteurs
Avec 10 travailleurs et 5 machines, la production est de 35 unités selon la fonction Q = 2L + 3K.
• Linéarité : La production augmente proportionnellement aux facteurs
• Additivité : Les contributions des facteurs s'additionnent
• Constantes : a et b représentent l'efficacité respective de chaque facteur
Fonction Cobb-Douglas : Q = AL^α K^β, où A, α, β sont des constantes positives.
Soit Q = 10L^0.5 K^0.5
L = 16 travailleurs
K = 25 machines
Q = 10 × (16)^0.5 × (25)^0.5 = 10 × 4 × 5 = 200 unités
200 unités sont produites avec 16 travailleurs et 25 machines
α + β = 0.5 + 0.5 = 1, donc rendements d'échelle constants
Avec 16 travailleurs et 25 machines, la production est de 200 unités selon la fonction Q = 10L^0.5 K^0.5.
• Forme : Q = AL^α K^β avec A > 0, 0 < α, β < 1
• Rendements : Si α + β = 1, rendements constants
• Complémentarité : Les facteurs sont utilisés ensemble
Rendements d'échelle constants : Si tous les facteurs sont multipliés par un même facteur, la production est multipliée par le même facteur.
Soit Q = 3L + 2K
L = 4, K = 6
Q = 3(4) + 2(6) = 12 + 12 = 24
L = 8, K = 12
Q = 3(8) + 2(12) = 24 + 24 = 48
48 = 2 × 24, donc la production double
Les rendements sont constants
La fonction Q = 3L + 2K présente des rendements d'échelle constants car doubler les facteurs double la production.
• Constant : f(tL, tK) = t × f(L, K)
• Proportionnalité : Multiplication uniforme des facteurs
• Linéarité : Les fonctions linéaires ont des rendements constants
Productivité marginale du travail : Augmentation de la production résultant de l'utilisation d'une unité supplémentaire de travail.
Soit Q = 5L^0.5 K^0.5
L = 16, K = 25
PMgL = ∂Q/∂L = 5 × 0.5 × L^(-0.5) × K^0.5
PMgL = 2.5 × (16)^(-0.5) × (25)^0.5 = 2.5 × (1/4) × 5 = 3.125
Chaque travailleur supplémentaire produit 3.125 unités de plus
La productivité marginale du travail est de 3.125 unités par travailleur supplémentaire.
• Formule : PMgL = ∂Q/∂L
• Interprétation : Rendement de la dernière unité de travail
• Diminution : Généralement décroissante selon la loi des rendements marginaux décroissants
Productivité marginale du capital : Augmentation de la production résultant de l'utilisation d'une unité supplémentaire de capital.
Soit Q = 4L^0.3 K^0.7
L = 125, K = 100
PMgK = ∂Q/∂K = 4 × 0.7 × L^0.3 × K^(-0.3)
PMgK = 2.8 × (125)^0.3 × (100)^(-0.3) = 2.8 × 5 × (1/4.64) ≈ 3.02
Chaque machine supplémentaire produit environ 3.02 unités de plus
La productivité marginale du capital est d'environ 3.02 unités par machine supplémentaire.
• Formule : PMgK = ∂Q/∂K
• Interprétation : Rendement de la dernière unité de capital
• Complémentarité : Liée à la quantité de travail utilisée
Augmentation du travail : Effet sur la production lorsque le nombre de travailleurs augmente.
Soit Q = 2L^0.5 K^0.5
L = 9, K = 16
Q = 2 × (9)^0.5 × (16)^0.5 = 2 × 3 × 4 = 24
L = 16, K = 16
Q = 2 × (16)^0.5 × (16)^0.5 = 2 × 4 × 4 = 32
ΔQ = 32 - 24 = 8 unités
L'augmentation de 7 travailleurs a permis de produire 8 unités de plus
L'augmentation du travail de 9 à 16 travailleurs a entraîné une augmentation de la production de 8 unités.
• Loi des rendements marginaux : L'augmentation du travail a des rendements décroissants
• Productivité : Chaque travailleur supplémentaire apporte moins de production
• Optimisation : L'entreprise doit équilibrer les facteurs pour maximiser la production
Augmentation du capital : Effet sur la production lorsque le nombre de machines augmente.
Soit Q = 3L^0.4 K^0.6
L = 32, K = 27
Q = 3 × (32)^0.4 × (27)^0.6 = 3 × 4 × 9 = 108
L = 32, K = 64
Q = 3 × (32)^0.4 × (64)^0.6 = 3 × 4 × 16 = 192
ΔQ = 192 - 108 = 84 unités
L'augmentation du capital de 27 à 64 machines a permis de produire 84 unités de plus
L'augmentation du capital de 27 à 64 machines a entraîné une augmentation de la production de 84 unités.
• Exposant du capital : K^0.6 montre l'importance du capital dans cette fonction
• Productivité : Le capital a un poids plus important que le travail dans cette fonction
• Complémentarité : Le capital et le travail doivent être équilibrés pour une production optimale
Rendements d'échelle croissants : Si tous les facteurs sont multipliés par un même facteur, la production est multipliée par un facteur plus grand.
Soit Q = L^0.6 K^0.7
L = 10, K = 10
Q = (10)^0.6 × (10)^0.7 = 10^1.3 ≈ 19.95
L = 20, K = 20
Q = (20)^0.6 × (20)^0.7 = 20^1.3 ≈ 49.53
49.53 > 2 × 19.95 = 39.9, donc les rendements sont croissants
0.6 + 0.7 = 1.3 > 1, donc rendements croissants
La fonction Q = L^0.6 K^0.7 présente des rendements d'échelle croissants car doubler les facteurs plus que double la production.
• Condition : Si α + β > 1, rendements croissants
• Avantages : Gains d'échelle, meilleure efficacité
• Spécialisation : Plus grande division du travail possible
Rendements d'échelle décroissants : Si tous les facteurs sont multipliés par un même facteur, la production est multipliée par un facteur plus petit.
Soit Q = L^0.3 K^0.4
L = 27, K = 16
Q = (27)^0.3 × (16)^0.4 = 3 × 2 = 6
L = 54, K = 32
Q = (54)^0.3 × (32)^0.4 ≈ 3.78 × 2.38 ≈ 8.99
8.99 < 2 × 6 = 12, donc les rendements sont décroissants
0.3 + 0.4 = 0.7 < 1, donc rendements décroissants
La fonction Q = L^0.3 K^0.4 présente des rendements d'échelle décroissants car doubler les facteurs ne double pas la production.
• Condition : Si α + β < 1, rendements décroissants
• Complexité : Gestion difficile à grande échelle
• Coordination : Difficultés de coordination dans les grandes structures
Technologie : Paramètre A dans la fonction de production qui représente l'état des connaissances techniques.
Soit Q = 2L^0.5 K^0.5
L = 25, K = 36
Q = 2 × (25)^0.5 × (36)^0.5 = 2 × 5 × 6 = 60
La technologie s'améliore, A passe de 2 à 3
Nouvelle fonction : Q = 3L^0.5 K^0.5
Q = 3 × (25)^0.5 × (36)^0.5 = 3 × 5 × 6 = 90
ΔQ = 90 - 60 = 30 unités
L'amélioration technologique (A passant de 2 à 3) a permis d'augmenter la production de 30 unités avec les mêmes facteurs.
• Paramètre technologique : A dans Q = A × f(L, K)
• Effet : L'amélioration technologique augmente la production sans modifier les facteurs
• Productivité : Le progrès technique améliore la productivité globale des facteurs
