Diagramme en bâtons : Représentation graphique pour variables discrètes où la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif.
- Identifier les modalités (valeurs possibles)
- Calculer les effectifs pour chaque modalité
- Placer les modalités sur l'axe horizontal
- Tracer des bâtons verticaux dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif
Notes obtenues par 20 élèves : 8, 10, 12, 10, 14, 12, 10, 8, 12, 14, 10, 12, 14, 16, 12, 10, 8, 12, 14, 10
Note 8 : 3 élèves, Note 10 : 6 élèves, Note 12 : 6 élèves, Note 14 : 4 élèves, Note 16 : 1 élève
On trace des bâtons verticaux pour chaque note avec une hauteur proportionnelle à l'effectif
Ajouter les titres, légendes et échelles appropriées
Le diagramme en bâtons montre les effectifs pour chaque note, permettant de visualiser la distribution des notes
• Utilisation : Variables discrètes avec peu de modalités
• Proportionnalité : Hauteur du bâton ∝ effectif
• Clarté : Espacement régulier entre les bâtons
Diagramme en secteurs : Représentation circulaire où chaque modalité est un secteur dont l'angle est proportionnel à la fréquence.
Mode de transport : Voiture (40%), Bus (25%), Vélo (20%), Marche (15%)
Voiture : 40% × 360° = 144°, Bus : 25% × 360° = 90°, Vélo : 20% × 360° = 72°, Marche : 15% × 360° = 54°
144° + 90° + 72° + 54° = 360° ✓
On trace un cercle et on divise en secteurs selon les angles calculés
Le diagramme en secteurs montre la répartition des modes de transport avec des secteurs proportionnels aux fréquences
• Formule : Angle = Fréquence × 360°
• Vérification : La somme des angles doit être de 360°
• Utilisation : Bonne visualisation des proportions
Histogramme : Représentation graphique pour variables continues où l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
Tailles de 100 personnes réparties en classes : [150;160[, [160;170[, [170;180[, [180;190[
Effectifs : 15, 35, 40, 10
Amplitude de chaque classe = 10 cm, donc densité = effectif/amplitude
Densités : 1.5, 3.5, 4.0, 1.0
On trace des rectangles dont la base est la classe et la hauteur est la densité
L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe
L'histogramme montre la distribution des tailles avec des rectangles dont l'aire représente les effectifs
• Proportionnalité : Aire du rectangle ∝ effectif de la classe
• Densité : Hauteur = Effectif / Amplitude de la classe
• Continuité : Rectangles juxtaposés sans espace
Calcul des angles : Chaque secteur a un angle proportionnel à la fréquence de la modalité correspondante.
Angle = (Effectif de la modalité / Effectif total) × 360°
Ou Angle = Fréquence × 360°
Si une modalité a un effectif de 25 sur un total de 100 : Angle = (25/100) × 360° = 90°
On répète le calcul pour chaque modalité du tableau
On additionne tous les angles : la somme doit être de 360°
Les angles sont calculés en multipliant les fréquences par 360°
• Formule : Angle = (n_i/N) × 360°
• Proportionnalité : Plus la fréquence est élevée, plus le secteur est grand
• Vérification : La somme des angles = 360°
Comparaison : Analyse de deux diagrammes en bâtons pour identifier les différences et similitudes.
On compare les hauteurs des bâtons pour chaque modalité
On identifie les modalités les plus fréquentes dans chaque groupe
On peut calculer les écarts entre les effectifs des deux groupes
On tire des conclusions sur les différences entre les deux populations
La comparaison permet de mettre en évidence les différences entre deux distributions
• Normalisation : Comparer des fréquences plutôt que des effectifs si les populations sont différentes
• Interprétation : Tirer des conclusions significatives
• Précision : Identifier les modalités qui diffèrent le plus
Histogramme avec classes de largeurs différentes : Lorsque les classes n'ont pas la même amplitude, il faut utiliser la densité d'effectifs.
Classes : [0;10[, [10;20[, [20;40[, [40;60[
Effectifs : 5, 10, 20, 15
Amplitudes : 10, 10, 20, 20
Densité = Effectif / Amplitude
Densités : 0.5, 1.0, 1.0, 0.75
On trace des rectangles dont la base est la classe et la hauteur est la densité
L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe
L'histogramme avec classes de largeurs différentes utilise la densité d'effectifs pour maintenir la proportionnalité
• Densité : Hauteur = Effectif / Amplitude de la classe
• Proportionnalité : Aire du rectangle = Effectif de la classe
• Interprétation : La hauteur ne représente pas directement l'effectif
Densité d'effectifs : \(d_i = \frac{n_i}{a_i}\) où \(n_i\) est l'effectif de la classe et \(a_i\) son amplitude.
Pour chaque classe, on identifie l'effectif et l'amplitude
Densité = Effectif / Amplitude
Classe [15;25[ avec 10 individus : densité = 10/(25-15) = 10/10 = 1
On vérifie que l'aire du rectangle (base × hauteur) = effectif
La densité d'effectifs est le quotient de l'effectif par l'amplitude de la classe
• Formule : \(d_i = \frac{n_i}{a_i}\)
• Unité : La densité s'exprime en effectif par unité d'amplitude
• Utilisation : Nécessaire pour les histogrammes avec classes de largeurs différentes
Conversion : Extraire les données numériques d'un diagramme en secteurs pour les présenter dans un tableau.
On observe les différents secteurs et leurs proportions
On estime la proportion de chaque secteur par rapport au cercle complet
Si on connaît l'effectif total, on calcule les effectifs pour chaque modalité
On crée un tableau avec les modalités, effectifs, fréquences et fréquences relatives
| Modalité | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| A | 40 | 0.4 | 40% |
| B | 25 | 0.25 | 25% |
| C | 20 | 0.2 | 20% |
| D | 15 | 0.15 | 15% |
| Total | 100 | 1.0 | 100% |
• Lecture : Estimer les proportions visuellement
• Calcul : Effectif = Fréquence × Effectif total
• Vérification : La somme des effectifs doit égaler l'effectif total
Choix du diagramme : Dépend du type de variable et de l'objectif de la représentation.
Variable qualitative nominale → diagramme en secteurs ou en bâtons
Variable quantitative discrète → diagramme en bâtons
Variable quantitative continue → histogramme
Montrer les proportions → diagramme en secteurs
Comparer les effectifs → diagramme en bâtons
Montrer la distribution → histogramme
Nombre de modalités : peu de modalités → diagramme en secteurs
Grande précision requise → diagramme en bâtons
Données continues → histogramme
On sélectionne le diagramme le plus adapté au contexte
Le choix du diagramme dépend du type de variable et de l'objectif de la représentation
• Variables discrètes : Diagramme en bâtons
• Variables continues : Histogramme
• Proportions : Diagramme en secteurs
Étude complète : Application de toutes les notions de statistique descriptive avec choix du diagramme approprié.
On recueille les tailles de 50 élèves : 155, 160, 165, 170, 175, 180 cm avec effectifs respectifs 5, 8, 12, 15, 7, 3
La taille est une variable quantitative continue, donc on utilisera un histogramme
Classes : [150;160[, [160;170[, [170;180[ avec effectifs 5, 20, 25
Amplitude de chaque classe = 10, donc densités : 0.5, 2.0, 2.5
On trace des rectangles dont la base est la classe et la hauteur est la densité
L'histogramme montre une concentration des tailles dans les classes supérieures
L'étude complète montre comment organiser les données, choisir le diagramme approprié et interpréter les résultats
• Processus complet : Collecte → Organisation → Représentation → Analyse
• Choix approprié : Sélectionner le diagramme adapté au type de variable
• Interprétation : Tirer des conclusions des représentations graphiques
