Effectif : Nombre d'individus présentant une modalité donnée.
- Lister toutes les modalités possibles
- Compter combien de fois chaque modalité apparaît
- Noter le résultat comme effectif de cette modalité
- Vérifier que la somme des effectifs = effectif total
Série : A, B, A, C, B, A, A, C, B, A
Modalités : A, B, C
A apparaît 5 fois, B apparaît 3 fois, C apparaît 2 fois
5 + 3 + 2 = 10 (effectif total) ✓
Effectif(A) = 5, Effectif(B) = 3, Effectif(C) = 2
• Comptage : Chaque occurrence est comptabilisée une seule fois
• Clarté : Présenter les résultats dans un tableau
• Vérification : La somme des effectifs = effectif total
Fréquence : \(f_i = \frac{n_i}{N}\) où \(n_i\) est l'effectif et \(N\) l'effectif total.
Effectif(A) = 5, Effectif(B) = 3, Effectif(C) = 2, Effectif total = 10
f(A) = 5/10 = 0.5, f(B) = 3/10 = 0.3, f(C) = 2/10 = 0.2
0.5 + 0.3 + 0.2 = 1 ✓
50% des individus ont la modalité A, 30% ont la modalité B, 20% ont la modalité C
f(A) = 0.5, f(B) = 0.3, f(C) = 0.2
• Formule : Fréquence = Effectif / Effectif total
• Intervalle : La fréquence est comprise entre 0 et 1
• Somme : La somme de toutes les fréquences = 1
Fréquence relative : \(f_i\% = \frac{n_i}{N} \times 100 = f_i \times 100\)
f(A) = 0.5, f(B) = 0.3, f(C) = 0.2
f(A)% = 0.5 × 100 = 50%, f(B)% = 0.3 × 100 = 30%, f(C)% = 0.2 × 100 = 20%
50% + 30% + 20% = 100% ✓
50% des individus ont la modalité A, etc.
f(A)% = 50%, f(B)% = 30%, f(C)% = 20%
• Conversion : Multiplier la fréquence par 100
• Unité : La fréquence relative s'exprime en %
• Somme : La somme des fréquences relatives = 100%
Tableau de distribution : Présentation organisée des modalités, effectifs, fréquences et fréquences relatives.
Modalités : A, B, C avec effectifs respectifs : 5, 3, 2
N = 5 + 3 + 2 = 10
f(A) = 5/10 = 0.5, f(B) = 3/10 = 0.3, f(C) = 2/10 = 0.2
f(A)% = 50%, f(B)% = 30%, f(C)% = 20%
| Modalité | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| A | 5 | 0.5 | 50% |
| B | 3 | 0.3 | 30% |
| C | 2 | 0.2 | 20% |
| Total | 10 | 1.0 | 100% |
• Structure : Modalités, effectifs, fréquences, fréquences relatives
• Calcul : Effectuer les conversions dans l'ordre approprié
• Vérification : Vérifier les sommes totales
Propriété fondamentale : La somme de toutes les fréquences est égale à 1.
f(A) = 0.5, f(B) = 0.3, f(C) = 0.2
Somme = f(A) + f(B) + f(C) = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1.0
\(\sum_{i=1}^{k} f_i = \sum_{i=1}^{k} \frac{n_i}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i = \frac{N}{N} = 1\)
La somme des fréquences relatives est égale à 100%
La somme des fréquences est bien égale à 1 (ou 100%), ce qui valide nos calculs
• Propriété : \(\sum f_i = 1\) pour toutes les fréquences
• Vérification : Toujours contrôler cette somme
• Importance : Cette propriété est fondamentale en statistiques
Interprétation : Donner du sens aux résultats statistiques dans le contexte étudié.
Étude des sports pratiqués par 100 élèves : football (40), basket (25), tennis (20), natation (15)
f(football) = 40/100 = 0.4 = 40%, f(basket) = 25/100 = 0.25 = 25%
f(tennis) = 20/100 = 0.2 = 20%, f(natation) = 15/100 = 0.15 = 15%
40% des élèves pratiquent le football, ce qui en fait le sport le plus populaire
Le football est pratiqué par 2.67 fois plus d'élèves que la natation (40/15 ≈ 2.67)
Le football est le sport le plus pratiqué (40% des élèves), suivi du basket (25%)
• Contexte : Toujours interpréter les résultats dans le cadre de l'étude
• Comparaison : Utiliser les fréquences pour comparer les modalités
• Analyse : Tirer des conclusions pertinentes
Calcul inverse : \(n_i = f_i \times N\) pour retrouver l'effectif à partir de la fréquence.
Effectif total N = 200, f(A) = 0.35, f(B) = 0.25, f(C) = 0.40
n(A) = 0.35 × 200 = 70, n(B) = 0.25 × 200 = 50, n(C) = 0.40 × 200 = 80
70 + 50 + 80 = 200 ✓
f(A) = 70/200 = 0.35 ✓, f(B) = 50/200 = 0.25 ✓, f(C) = 80/200 = 0.40 ✓
n(A) = 70, n(B) = 50, n(C) = 80
• Formule inverse : \(n_i = f_i \times N\)
• Vérification : Toujours contrôler la cohérence des résultats
• Précision : S'assurer que les effectifs sont des nombres entiers
Complétion : Utiliser les relations entre effectifs, fréquences et fréquences relatives pour compléter un tableau.
Modalités A, B, C avec : n(A) = 15, f(B) = 0.25, n(C) = 20, N = 50
n(B) = f(B) × N = 0.25 × 50 = 12.5 → Arrondi à 13 (car effectif entier)
f(A) = n(A)/N = 15/50 = 0.3
f(C) = n(C)/N = 20/50 = 0.4
f(A)% = 30%, f(B)% = 25%, f(C)% = 40%
15 + 13 + 20 = 48 ≠ 50 (légère approximation due à l'arrondi)
| Modalité | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| A | 15 | 0.3 | 30% |
| B | 13 | 0.25 | 25% |
| C | 20 | 0.4 | 40% |
| Total | 48 | 0.95 | 95% |
• Relations : Utiliser les formules de conversion
• Entiers : Les effectifs doivent être des nombres entiers
• Approximation : Parfois nécessaire à cause des arrondis
Comparaison : Analyse des différences entre deux ou plusieurs distributions statistiques.
Modalités A, B, C avec effectifs : 30, 40, 30 sur 100 individus
f(A) = 0.3, f(B) = 0.4, f(C) = 0.3
Modalités A, B, C avec effectifs : 20, 50, 30 sur 100 individus
f(A) = 0.2, f(B) = 0.5, f(C) = 0.3
Groupe 1 : B est majoritaire (40%), Groupe 2 : B est encore plus majoritaire (50%)
A est moins représenté dans le groupe 2 (20% vs 30%)
Le groupe 2 montre une concentration plus forte sur la modalité B
Le groupe 2 montre une surreprésentation de la modalité B par rapport au groupe 1
• Comparaison : Utiliser les fréquences pour comparer les groupes
• Normalisation : Les fréquences permettent de comparer des groupes de tailles différentes
• Différenciation : Identifier les différences significatives
Étude complète : Application de toutes les notions d'effectifs, fréquences et fréquences relatives dans une analyse statistique.
On interroge 200 personnes sur leur moyen de transport quotidien : Voiture (80), Bus (50), Vélo (30), Marche (40)
n(Voiture) = 80, n(Bus) = 50, n(Vélo) = 30, n(Marche) = 40
Total = 80 + 50 + 30 + 40 = 200 ✓
f(Voiture) = 80/200 = 0.4, f(Bus) = 50/200 = 0.25, f(Vélo) = 30/200 = 0.15, f(Marche) = 40/200 = 0.2
f(Voiture)% = 40%, f(Bus)% = 25%, f(Vélo)% = 15%, f(Marche)% = 20%
0.4 + 0.25 + 0.15 + 0.2 = 1.0 ✓
40% + 25% + 15% + 20% = 100% ✓
40% des personnes utilisent la voiture, c'est le moyen de transport le plus répandu
L'étude montre que la voiture est le moyen de transport principal (40%), suivi du bus (25%), de la marche (20%) et du vélo (15%)
• Processus complet : Suivre toutes les étapes d'une étude statistique
• Organisation : Structurer les calculs de manière claire
• Interprétation : Tirer des conclusions pertinentes des résultats
