Effectifs – Fréquences – Fréquences Relatives | Statistiques Descriptives Seconde
Introduction
Découvrez les concepts fondamentaux de la statistique descriptive
Définition de l'effectif
L'effectif
L'effectif d'une valeur (ou modalité) est le nombre d'individus de la population qui possèdent cette valeur pour le caractère étudié.
On note souvent l'effectif de la modalité \(x_i\) par \(n_i\).
La somme de tous les effectifs est égale à l'effectif total de la population :
Où \(N\) est l'effectif total.
Dans une classe de 30 élèves, 8 élèves ont les yeux bleus.
L'effectif de la modalité "yeux bleus" est 8.
L'effectif total est 30.
Définition de la fréquence
La fréquence
La fréquence d'une valeur (ou modalité) est le quotient de son effectif par l'effectif total de la population.
Pour une modalité \(x_i\) d'effectif \(n_i\), la fréquence \(f_i\) est :
Où \(N\) est l'effectif total.
- La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1
- La somme de toutes les fréquences est égale à 1
- La fréquence peut s'exprimer en pourcentage
Dans une classe de 30 élèves, 8 ont les yeux bleus.
La fréquence des yeux bleus est : \(\frac{8}{30} = 0.267\)
Soit environ 26.7%.
Fréquences relatives
Les fréquences relatives
La fréquence relative d'une valeur est identique à la fréquence : c'est le quotient de son effectif par l'effectif total de la population.
La fréquence relative peut s'exprimer :
- Sous forme décimale (entre 0 et 1)
- Sous forme de fraction
- En pourcentage (multiplier par 100)
Pour 8 élèves sur 30 :
- Forme décimale : 0.267
- Forme de fraction : 8/30
- En pourcentage : 26.7%
Relations entre effectifs, fréquences et fréquences relatives
Relations fondamentales
Voici les relations entre les trois concepts :
Où :
- \(n_i\) = effectif de la modalité i
- \(f_i\) = fréquence (relative) de la modalité i
- \(N\) = effectif total
| Modalité | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| Yeux bleus | 8 | 0.267 | 26.7% |
| Yeux marron | 15 | 0.500 | 50.0% |
| Yeux verts | 7 | 0.233 | 23.3% |
| Total | 30 | 1.000 | 100% |
Exemple complet d'étude statistique
Étude du nombre de frères et sœurs
On a interrogé 40 élèves sur leur nombre de frères et sœurs :
Résultats : 0, 1, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 2
| Nombre de frères et sœurs | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.200 | 20.0% |
| 1 | 16 | 0.400 | 40.0% |
| 2 | 12 | 0.300 | 30.0% |
| 3 | 4 | 0.100 | 10.0% |
| Total | 40 | 1.000 | 100% |
Calcul des fréquences en pourcentage
Fréquences en pourcentage
La fréquence en pourcentage est obtenue en multipliant la fréquence par 100.
- Déterminer l'effectif de la modalité
- Déterminer l'effectif total
- Calculer la fréquence : effectif / effectif total
- Multiplier par 100 pour obtenir le pourcentage
Dans une classe de 25 élèves, 5 élèves portent des lunettes.
Effectif des porteurs de lunettes : 5
Effectif total : 25
Fréquence : 5/25 = 0.2
Fréquence en % : 0.2 × 100 = 20%
Tableau de fréquences cumulées
Fréquences cumulées
La fréquence cumulée d'une modalité est la somme des fréquences de toutes les modalités inférieures ou égales à celle-ci.
| Note | Effectif | Fréquence | Fréq. Cumulée |
|---|---|---|---|
| 8 | 3 | 0.15 | 0.15 |
| 10 | 5 | 0.25 | 0.40 |
| 12 | 7 | 0.35 | 0.75 |
| 14 | 3 | 0.15 | 0.90 |
| 16 | 2 | 0.10 | 1.00 |
La fréquence cumulée de 12 est : 0.15 + 0.25 + 0.35 = 0.75
La fréquence cumulée de 12 est 0.75, ce qui signifie que 75% des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 12.
Exercice 1 : Identification des concepts
Application des connaissances
Une enquête est menée auprès de 120 élèves pour connaître leur moyen de transport pour venir au collège :
- À pied : 30 élèves
- En bus : 48 élèves
- En voiture : 24 élèves
- À vélo : 18 élèves
1. Calculer l'effectif total.
2. Calculer la fréquence et la fréquence en % pour chaque modalité.
3. Vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
Solution exercice 1
Correction détaillée
Effectif total = 30 + 48 + 24 + 18 = 120 élèves
| Moyen de transport | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| À pied | 30 | 30/120 = 0.25 | 25% |
| En bus | 48 | 48/120 = 0.40 | 40% |
| En voiture | 24 | 24/120 = 0.20 | 20% |
| À vélo | 18 | 18/120 = 0.15 | 15% |
| Total | 120 | 1.00 | 100% |
Sum des fréquences : 0.25 + 0.40 + 0.20 + 0.15 = 1.00 ✓
Sum des fréquences en % : 25 + 40 + 20 + 15 = 100% ✓
Exercice 2 : Étude d'un caractère quantitatif
Application du caractère quantitatif
Voici les tailles (en cm) de 20 élèves d'une classe : 155, 160, 165, 160, 158, 162, 165, 158, 160, 155, 168, 160, 165, 158, 162, 160, 165, 158, 160, 165
1. Regrouper les données par valeur.
2. Calculer les effectifs, fréquences et fréquences en %.
3. Tracer un diagramme en bâtons des fréquences.
Solution exercice 2
Correction détaillée
Les tailles différentes sont : 155, 158, 160, 162, 165, 168
| Taille (cm) | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) |
|---|---|---|---|
| 155 | 2 | 2/20 = 0.10 | 10% |
| 158 | 4 | 4/20 = 0.20 | 20% |
| 160 | 6 | 6/20 = 0.30 | 30% |
| 162 | 2 | 2/20 = 0.10 | 10% |
| 165 | 5 | 5/20 = 0.25 | 25% |
| 168 | 1 | 1/20 = 0.05 | 5% |
| Total | 20 | 1.00 | 100% |
Résumé
Points clés
- Nombre d'individus ayant une même valeur pour le caractère
- Notation : \(n_i\) pour la modalité \(x_i\)
- Sum des effectifs = effectif total
- Quotient de l'effectif par l'effectif total
- Formule : \(f_i = \frac{n_i}{N}\)
- Entre 0 et 1, somme = 1
- Fréquence multipliée par 100
- Entre 0 et 100, somme = 100%
- Formule : \(f_{\%} = \frac{n_i}{N} \times 100\)
- \(f_i = \frac{n_i}{N}\)
- \(n_i = f_i \times N\)
- \(f_{\%} = f_i \times 100\)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences en statistiques