Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
- Identifier l'univers Ω de l'expérience
- Décrire les événements A et B
- Déterminer l'intersection A ∩ B
- Montrer que A ∩ B = ∅
- Conclure que A et B sont incompatibles
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre pair" → A = {2, 4, 6}
B : "Obtenir un nombre impair" → B = {1, 3, 5}
A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5}
A ∩ B = ∅ (aucun élément commun)
Puisque A ∩ B = ∅, les événements A et B sont incompatibles
On ne peut pas obtenir à la fois un nombre pair et un nombre impair en un seul lancer
Les événements A = {2, 4, 6} et B = {1, 3, 5} sont incompatibles car A ∩ B = ∅
• Définition : A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅
• Ensemble vide : ∅ est l'ensemble qui ne contient aucun élément
• Interprétation : Les événements incompatibles ne peuvent pas se produire simultanément
Événements contraires : Deux événements sont contraires si l'un est la négation de l'autre. Ils sont toujours incompatibles.
On lance une pièce de monnaie : Ω = {P, F} (Pile, Face)
A : "Obtenir pile" → A = {P}
B : "Obtenir face" → B = {F}
A ∩ B = {P} ∩ {F} = ∅
A ∪ B = {P} ∪ {F} = {P, F} = Ω
Donc A et B sont des événements contraires
Les événements A et B sont incompatibles (et contraires)
Les événements A = {P} et B = {F} sont incompatibles car A ∩ B = ∅
• Contraires : Les événements contraires sont toujours incompatibles
• Union complète : A ∪ B = Ω pour des événements contraires
• Intersection vide : A ∩ B = ∅ pour des événements incompatibles
Expérience composée : Combinaison de plusieurs expériences simples. L'univers est un produit cartésien.
On lance deux dés à six faces simultanément
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}}
A : "Obtenir une somme de 2" → A = {(1,1)}
B : "Obtenir une somme de 12" → B = {(6,6)}
A ∩ B = {(1,1)} ∩ {(6,6)} = ∅
Il est impossible d'obtenir à la fois une somme de 2 et une somme de 12 en un seul jet des deux dés
Les événements A et B sont incompatibles
Les événements A = {(1,1)} et B = {(6,6)} sont incompatibles car A ∩ B = ∅
• Produit cartésien : Pour des expériences indépendantes
• Incompatibilité : A ∩ B = ∅ signifie impossibilité simultanée
• Application : Valable pour des expériences composées
Propriété : Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On lance un dé équilibré
P(A) = 1/6 (probabilité d'obtenir 2)
P(B) = 1/6 (probabilité d'obtenir 5)
A = {2}, B = {5}
A ∩ B = {2} ∩ {5} = ∅
Donc A et B sont incompatibles
Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
La probabilité d'obtenir 2 ou 5 est de 1/3
La probabilité d'obtenir 2 ou 5 est P(A ∪ B) = 1/3
• Additivité : Pour des événements incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Application : Cette propriété simplifie les calculs de probabilité
• Vérification : Toujours vérifier l'incompatibilité avant d'appliquer la formule
Événement contraire : Soit A un événement, son contraire Ā (ou Ac) est défini par Ā = Ω \ A.
Soit A un événement et Ā son événement contraire
Ā = Ω \ A = {ω ∈ Ω | ω ∉ A}
A ∩ Ā = {ω ∈ Ω | ω ∈ A et ω ∈ Ā}
A ∩ Ā = {ω ∈ Ω | ω ∈ A et ω ∉ A}
Un élément ne peut pas appartenir et ne pas appartenir à A en même temps
Donc il n'existe aucun ω tel que ω ∈ A et ω ∉ A
A ∩ Ā = ∅
Pour tout événement A, A et Ā sont incompatibles
Les événements contraires A et Ā sont toujours incompatibles car A ∩ Ā = ∅
• Universalité : Tous les événements contraires sont incompatibles
• Logique : Un élément ne peut pas vérifier et ne pas vérifier une propriété
• Propriété fondamentale : A ∩ Ā = ∅ pour tout événement A
Événements compatibles : Deux événements A et B sont compatibles si A ∩ B ≠ ∅, c'est-à-dire s'ils peuvent se produire simultanément.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre pair" → A = {2, 4, 6}
B : "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4" → B = {4, 5, 6}
A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6}
A ∩ B = {4, 6}
A ∩ B = {4, 6} ≠ ∅
Les événements A et B sont compatibles (pas incompatibles)
On peut obtenir un nombre qui est à la fois pair et supérieur ou égal à 4 (les valeurs 4 et 6)
Les événements A = {2, 4, 6} et B = {4, 5, 6} sont compatibles car A ∩ B = {4, 6} ≠ ∅
• Compatibilité : A et B sont compatibles si A ∩ B ≠ ∅
• Simultanéité : Des événements compatibles peuvent se produire en même temps
• Contraposée : Si A ∩ B ≠ ∅, alors A et B ne sont pas incompatibles
Événements mutuellement incompatibles : Trois événements A, B et C sont mutuellement incompatibles si A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ et B ∩ C = ∅.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir 1" → A = {1}
B : "Obtenir 3" → B = {3}
C : "Obtenir 5" → C = {5}
A ∩ B = {1} ∩ {3} = ∅
A ∩ C = {1} ∩ {5} = ∅
B ∩ C = {3} ∩ {5} = ∅
Toutes les intersections deux à deux sont vides
Les événements A, B et C sont mutuellement incompatibles
Alors P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
Les événements A = {1}, B = {3} et C = {5} sont mutuellement incompatibles
• Mutuelle incompatibilité : Toutes les intersections deux à deux doivent être vides
• Généralisation : Pour n événements mutuellement incompatibles : P(A₁ ∪ ... ∪ Aₙ) = P(A₁) + ... + P(Aₙ)
• Application : Utile pour décomposer des événements complexes
Application : Utilisation de la notion d'événements incompatibles pour résoudre des problèmes de probabilité.
Dans une urne, il y a 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard.
Calculer la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue.
A : "Tirer une boule rouge"
B : "Tirer une boule bleue"
On ne peut pas tirer une boule rouge et une boule bleue en un seul tirage
Donc A ∩ B = ∅, les événements sont incompatibles
P(A) = 5/10 = 1/2 (5 rouges sur 10 boules)
P(B) = 3/10 (3 bleues sur 10 boules)
Puisque A et B sont incompatibles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 3/10 = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5
Nombre de boules rouges ou bleues = 5 + 3 = 8
P(A ∪ B) = 8/10 = 4/5 ✓
La probabilité de tirer une boule rouge ou bleue est de 4/5
• Identification : Repérer les événements incompatibles dans le problème
• Application : Utiliser P(A ∪ B) = P(A) + P(B) pour des événements incompatibles
• Vérification : Toujours vérifier la cohérence du résultat
Expérience de tirage : Étude des événements incompatibles dans une situation de tirage.
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes
Ω = {7♣, 8♣, ..., As♠}
A : "Tirer un cœur" → A = {7♥, 8♥, 9♥, 10♥, Valet♥, Dame♥, Roi♥, As♥}
B : "Tirer un pique" → B = {7♠, 8♠, 9♠, 10♠, Valet♠, Dame♠, Roi♠, As♠}
A ∩ B = {cartes qui sont à la fois cœur et pique}
A ∩ B = ∅ (une carte ne peut pas appartenir à deux couleurs différentes)
Les couleurs des cartes sont exclusives : une carte est d'une seule couleur
Les événements A et B sont incompatibles
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 8/32 + 8/32 = 16/32 = 1/2
Les événements "tirer un cœur" et "tirer un pique" sont incompatibles car A ∩ B = ∅
• Exclusivité : Certaines propriétés des objets sont mutuellement exclusives
• Application : La couleur d'une carte est unique
• Conséquence : Cela entraîne l'incompatibilité des événements correspondants
Application complexe : Utilisation avancée de la notion d'événements incompatibles dans une situation multi-critères.
Dans une classe de 30 élèves : 10 font de l'athlétisme, 8 font du tennis, 6 font de la natation, et les autres ne pratiquent aucun sport.
Chaque élève pratique au maximum un sport. On choisit un élève au hasard.
A : "L'élève fait de l'athlétisme"
T : "L'élève fait du tennis"
N : "L'élève fait de la natation"
Chaque élève pratique au maximum un sport
Donc un élève ne peut pas pratiquer deux sports en même temps
A ∩ T = ∅ (impossible de faire athlétisme et tennis)
A ∩ N = ∅ (impossible de faire athlétisme et natation)
T ∩ N = ∅ (impossible de faire tennis et natation)
P(A) = 10/30 = 1/3
P(T) = 8/30 = 4/15
P(N) = 6/30 = 1/5
Les événements A, T et N sont mutuellement incompatibles
P(A ∪ T ∪ N) = P(A) + P(T) + P(N) = 1/3 + 4/15 + 1/5
P(A ∪ T ∪ N) = 5/15 + 4/15 + 3/15 = 12/15 = 4/5
Nombre total d'élèves pratiquant un sport = 10 + 8 + 6 = 24
P(A ∪ T ∪ N) = 24/30 = 4/5 ✓
La probabilité qu'un élève choisi au hasard pratique un sport est de 4/5
• Modélisation : Traduire les contraintes du problème en termes d'événements
• Incompatibilité : Identifier les situations où les événements ne peuvent pas coexister
• Calcul : Utiliser la propriété d'additivité pour des événements incompatibles
