Événements Incompatibles | Mathématiques Seconde - Vocabulaire des Probabilités

Considérons l'expérience : lancer une pièce de monnaie.

Soit A l'événement : "obtenir pile"

Soit B l'événement : "obtenir face"

Les événements A et B sont incompatibles car on ne peut pas obtenir pile et face en même temps.

Considérons l'expérience : lancer un dé à six faces.

Soit C l'événement : "obtenir 2"

Soit D l'événement : "obtenir 5"

Les événements C et D sont incompatibles car on ne peut pas obtenir 2 et 5 en même temps.

Considérons l'expérience : tirer une carte d'un jeu de 52 cartes.

Soit E l'événement : "tirer un cœur"

Soit F l'événement : "tirer un carreau"

Les événements E et F sont incompatibles car une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un carreau.

Lorsque deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité de leur union est égale à la somme de leurs probabilités :

Cette propriété est fondamentale dans le calcul des probabilités.

Par définition, la probabilité de l'intersection de deux événements incompatibles est nulle :

En effet, un événement impossible a une probabilité nulle.

On peut généraliser à n événements incompatibles deux à deux :

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

• Intersection : A ∩ B = ∅
• Probabilité de l'intersection : P(A ∩ B) = 0
• Probabilité de l'union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Exemple : "obtenir pile" et "obtenir face" lors d'un lancer de pièce.

Deux événements sont compatibles s'ils peuvent se produire en même temps.

• Intersection : A ∩ B ≠ ∅
• Probabilité de l'intersection : P(A ∩ B) > 0
• Probabilité de l'union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Exemple : "obtenir un nombre pair" et "obtenir un nombre supérieur à 3" lors d'un lancer de dé.

Le diagramme de Venn montre visuellement la relation entre deux événements :

• Pour des événements incompatibles : les cercles ne se touchent pas (A ∩ B = ∅)
• Pour des événements compatibles : les cercles se chevauchent (A ∩ B ≠ ∅)
• L'univers Ω est représenté par le rectangle englobant

A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}

B = "obtenir un nombre impair" = {1, 3, 5}

A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = ∅

Donc A et B sont incompatibles.

C = "obtenir un multiple de 3" = {3, 6}

D = "obtenir un nombre strictement inférieur à 3" = {1, 2}

C ∩ D = {3, 6} ∩ {1, 2} = ∅

Donc C et D sont incompatibles.

E = "obtenir un nombre premier" = {2, 3, 5}

F = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}

E ∩ F = {2, 3, 5} ∩ {2, 4, 6} = {2}

Donc E et F sont compatibles (car E ∩ F ≠ ∅).

G = "obtenir 1" = {1}

H = "obtenir 6" = {6}

G ∩ H = {1} ∩ {6} = ∅

Donc G et H sont incompatibles.

Un système complet d'événements est un ensemble d'événements A₁, A₂, ..., Aₙ tels que :

• Les événements sont deux à deux incompatibles : Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ pour i ≠ j
• L'union de tous les événements est l'événement certain : A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = Ω

Autrement dit, les événements partitionnent l'univers Ω.

Dans le lancer d'un dé :

• A₁ = {1}, A₂ = {2}, A₃ = {3}, A₄ = {4}, A₅ = {5}, A₆ = {6}
• Ces événements sont deux à deux incompatibles
• Leur union est l'univers : {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
• C'est donc un système complet d'événements

Les systèmes complets d'événements sont importants car :

• La somme des probabilités d'un système complet est égale à 1
• Ils permettent de décomposer un problème complexe en cas plus simples
• Ils sont utilisés dans la formule des probabilités totales

Les événements incompatibles sont omniprésents dans les jeux de hasard :

• Dans un jeu de cartes, "tirer un cœur" et "tirer un carreau" sont incompatibles
• Dans un lancer de dé, "obtenir 1" et "obtenir 6" sont incompatibles
• Dans un lancer de pièce, "pile" et "face" sont incompatibles

Les événements incompatibles sont utilisés dans les enquêtes et études :

• "Être homme" et "être femme" sont généralement incompatibles
• "Avoir plus de 18 ans" et "avoir moins de 18 ans" sont incompatibles
• "Voter pour le candidat A" et "voter pour le candidat B" sont incompatibles

De nombreuses situations en science impliquent des événements incompatibles :

• "Être malade" et "être sain" sont incompatibles dans un test médical
• "Survivre" et "mourir" sont incompatibles dans une étude clinique
• "Tomber malade" et "ne pas tomber malade" sont incompatibles

Dans une urne, il y a 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard.

Soit R l'événement : "tirer une boule rouge"

Soit V l'événement : "tirer une boule verte"

Soit B l'événement : "tirer une boule bleue"

1. Les événements R, V et B sont-ils deux à deux incompatibles ?

2. Calculer P(R), P(V) et P(B).

3. Que vaut P(R ∪ V ∪ B) ?

On ne peut pas tirer une boule rouge et une boule verte en même temps, ni une boule rouge et une boule bleue, ni une boule verte et une boule bleue.

Donc :

• R ∩ V = ∅
• R ∩ B = ∅
• V ∩ B = ∅

Les événements R, V et B sont donc deux à deux incompatibles.

Total des boules : 5 + 3 + 2 = 10

• P(R) = 5/10 = 1/2 = 0.5
• P(V) = 3/10 = 0.3
• P(B) = 2/10 = 1/5 = 0.2

Puisque les événements sont deux à deux incompatibles, on a :

Cela correspond à l'événement certain, car on est sûr de tirer une boule rouge, verte ou bleue.

• Deux événements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅
• Ils ne peuvent pas se produire en même temps
• P(A ∩ B) = 0
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

• Deux événements A et B sont compatibles si A ∩ B ≠ ∅
• Ils peuvent se produire en même temps
• P(A ∩ B) > 0
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

• Événements deux à deux incompatibles
• Union égale à l'événement certain
• Somme des probabilités égale à 1