Probabilité d’un événement | Statistiques et probabilités - Seconde

1 Un événement certain se produit toujours
P(événement certain) = 1
2 Exemple : "Obtenir un chiffre entre 1 et 6 en lançant un dé normal"

1 Un événement impossible ne se produit jamais
P(événement impossible) = 0
2 Exemple : "Obtenir 7 en lançant un dé normal"

1 L'événement contraire de A, noté Ā, se produit quand A ne se produit pas
P(Ā) = 1 - P(A)
2 Exemple : Si A = "obtenir un 6", alors Ā = "ne pas obtenir un 6"

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire (cas équiprobable), la probabilité d'un événement A est :

1 Expérience : Lancer un dé à 6 faces
2 Cas possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cas
3 Soit A = "obtenir un nombre pair"
4 Cas favorables : {2, 4, 6} → 3 cas
5 Donc : P(A) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Autrement dit : A ∩ B = ∅

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Soient :

• A = "tirer un roi"
• B = "tirer une dame"

A et B sont incompatibles car une carte ne peut pas être à la fois roi et dame.

P(A) = 4/32, P(B) = 4/32

Donc : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 4/32 + 4/32 = 8/32 = 1/4

Pour tout événement A, la probabilité de son événement contraire Ā est :

Ou encore : \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \)

1 On lance un dé équilibré
2 Soit A = "obtenir un 6"
3 P(A) = 1/6
4 Soit Ā = "ne pas obtenir un 6"
5 P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 = 5/6

1 Ensemble des résultats possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cas
2 Ensemble des résultats favorables à A : {1, 2, 3, 4} → 4 cas
3 Donc : P(A) = 4/6 = 2/3 ≈ 0.67
4 P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 2/3 = 1/3

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition d'un événement tend vers sa probabilité théorique.

Nombre de lancers	Fréquence pile	Probabilité théorique
10	0.6	0.5
100	0.48	0.5
1000	0.503	0.5

On tire successivement deux boules dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes (sans remise).

• 1 Sur chaque branche partant d'un nœud, la somme des probabilités est 1
• 2 La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
• 3 La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent

Total de boules : 5 + 3 + 2 = 10 boules

• 5 boules rouges
• 3 boules blanches
• 2 boules noires

Soit A = "tirer une boule rouge"

Soit B = "tirer une boule qui n'est pas noire" = "tirer une boule rouge ou blanche"

Ou bien : P(B) = 1 - P("tirer une boule noire") = 1 - 2/10 = 8/10 = 0.8

Les événements "tirer une boule rouge" et "tirer une boule blanche" sont incompatibles.

• \( 0 \leq P(A) \leq 1 \) pour tout événement A
• P(événement certain) = 1
• P(événement impossible) = 0

• \( P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \)

• Événements incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Événements contraires : P(Ā) = 1 - P(A)