Cas équiprobables | Statistiques et probabilités - Seconde

1 Lorsque les cas sont équiprobables, la probabilité d'un événement A est donnée par :
\( P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à A}}{\text{nombre de cas possibles}} \)
2 Cette formule est applicable uniquement dans le cas équiprobable
3 Elle permet de simplifier considérablement les calculs de probabilité

• 1 Toutes les issues doivent avoir la même chance de se produire
• 2 L'ensemble des issues possibles doit être fini
• 3 L'événement A doit être constitué d'un certain nombre de ces issues

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.

• Issues possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Nombre total d'issues : 6
• Puisque le dé est équilibré, chaque face a la même chance de sortir
• Donc : P(obtenir 1) = P(obtenir 2) = ... = P(obtenir 6) = 1/6

On lance une pièce équilibrée.

• Issues possibles : {pile, face}
• Nombre total d'issues : 2
• Puisque la pièce est équilibrée, pile et face ont la même chance de sortir
• Donc : P(pile) = P(face) = 1/2

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 5.

• Issues possibles : {boule 1, boule 2, boule 3, boule 4, boule 5}
• Nombre total d'issues : 5
• Puisque les boules sont indiscernables, chaque boule a la même chance d'être tirée
• Donc : P(tirer la boule 1) = P(tirer la boule 2) = ... = 1/5

1 Identifier l'expérience aléatoire
2 Vérifier que les cas sont équiprobables
3 Déterminer l'ensemble des issues possibles (nombre total)
4 Déterminer les issues favorables à l'événement A
5 Appliquer la formule : P(A) = (nombre de cas favorables)/(nombre de cas possibles)

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

• Issues possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cas
• Événement A = "obtenir un nombre pair"
• Issues favorables à A : {2, 4, 6} → 3 cas
• Donc : P(A) = 3/6 = 1/2 = 0.5

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (8 cartes par couleur : ♠, ♥, ♦, ♣).

• Issues possibles : 32 cartes différentes
• Chaque carte a la même chance d'être tirée (cartes indiscernables dans le paquet)
• Donc les cas sont équiprobables

Soit A = "tirer un as"

• Cas favorables : 4 as (un par couleur)
• Cas possibles : 32
• P(A) = 4/32 = 1/8 = 0.125

Soit B = "tirer une figure" (valet, dame, roi)

• Cas favorables : 3 figures × 4 couleurs = 12 figures
• Cas possibles : 32
• P(B) = 12/32 = 3/8 = 0.375

1 Total de boules : 4 + 3 + 3 = 10 boules
2 Chaque boule a la même chance d'être tirée (indiscernables)
3 Donc les cas sont équiprobables
4 Cas possibles : 10

Soit A = "tirer une boule rouge"

• Cas favorables : 4 boules rouges
• Cas possibles : 10
• P(A) = 4/10 = 2/5 = 0.4

Soit B = "tirer une boule bleue ou verte"

• Cas favorables : 3 + 3 = 6 boules
• Cas possibles : 10
• P(B) = 6/10 = 3/5 = 0.6

Considérons un dé truqué tel que la face 6 sort 3 fois plus souvent que les autres faces.

• Issues possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Mais : P(6) ≠ P(1), P(6) ≠ P(2), etc.
• Les cas ne sont PAS équiprobables
• On ne peut PAS utiliser la formule P(A) = (cas favorables)/(cas possibles)

Avant d'appliquer la formule des cas équiprobables, il est crucial de vérifier que :

• Toutes les issues ont la même chance de se produire
• Le dispositif utilisé est équilibré (dé, pièce, roulette, etc.)
• Les objets manipulés sont indiscernables (boules, jetons, etc.)

Si ce n'est pas le cas, on ne peut pas utiliser la formule simple et il faut recourir à d'autres méthodes.

La roue est divisée en 8 secteurs égaux :

• 3 secteurs rouges
• 2 secteurs bleus
• 2 secteurs verts
• 1 secteur noir

La roue est parfaitement équilibrée.

La roue est parfaitement équilibrée et divisée en 8 secteurs égaux.

Chaque secteur a la même surface, donc la même chance d'être pointé par la flèche.

Donc : P(chaque secteur) = 1/8

Les cas sont équiprobables.

Soit A = "gagner un secteur rouge"

• Cas favorables : 3 secteurs rouges
• Cas possibles : 8 secteurs
• P(A) = 3/8 = 0.375

Soit B = "ne pas gagner un secteur noir"

Méthode 1 : B = "gagner un secteur rouge, bleu ou vert"

• Cas favorables : 3 + 2 + 2 = 7 secteurs
• Cas possibles : 8 secteurs
• P(B) = 7/8 = 0.875

Méthode 2 : P(B) = 1 - P(gagner le secteur noir)

• P(gagner le secteur noir) = 1/8
• P(B) = 1 - 1/8 = 7/8 = 0.875

Soit C = "gagner un secteur rouge ou bleu"

Les événements "rouge" et "bleu" sont incompatibles.

• Cas favorables : 3 (rouge) + 2 (bleu) = 5 secteurs
• Cas possibles : 8 secteurs
• P(C) = 5/8 = 0.625

• Les cas sont équiprobables lorsque toutes les issues possibles ont la même chance de se produire
• Chaque issue a alors une probabilité de 1/n où n est le nombre total d'issues

• Dans les cas équiprobables : \( P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \)
• Cette formule ne s'applique que dans le cas équiprobable !

• Toujours vérifier que les cas sont équiprobables avant d'appliquer la formule
• Les objets doivent être équilibrés et indiscernables