Équiprobabilité : Chaque face du dé a la même probabilité de sortir.
\(P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\)
Les issues possibles sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Donc Card(Ω) = 6
Dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les multiples de 3 sont : 3 et 6
Issues favorables : {3, 6}, donc Card(A) = 2
\(P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Chaque face a une probabilité de \(\frac{1}{6}\), donc :
\(P(\{3\}) = \frac{1}{6}\), \(P(\{6\}) = \frac{1}{6}\)
\(P(\{3, 6\}) = P(\{3\}) + P(\{6\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est \(\frac{1}{3}\)
• Équiprobabilité : Chaque face a la même probabilité \(\frac{1}{6}\)
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Simplification : \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Équiprobabilité : Chaque résultat des deux lancers a la même probabilité.
Ω = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}, où P=Pile et F=Face
Donc Card(Ω) = 4
Exactement une face signifie : (P,F) ou (F,P)
Issues favorables : {(P,F), (F,P)}, donc Card(A) = 2
\(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Chaque couple a une probabilité de \(\frac{1}{4}\) car :
Les deux lancers sont indépendants et chaque pièce est équilibrée
La probabilité d'obtenir exactement une face est \(\frac{1}{2}\)
• Produit cartésien : Pour deux expériences indépendantes
• Équiprobabilité : Chaque couple a la même probabilité
• Principe multiplicatif : 2 × 2 = 4 résultats possibles
Équiprobabilité : Chaque carte du jeu a la même probabilité d'être tirée.
Un jeu de 32 cartes : {As, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi} × {Trèfle, Carreau, Cœur, Pique}
Donc Card(Ω) = 32
Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes :
{Roi de Trèfle, Roi de Carreau, Roi de Cœur, Roi de Pique}
Issues favorables : 4 rois, donc Card(A) = 4
\(P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
Chaque carte a une probabilité de \(\frac{1}{32}\), donc :
\(P(\text{roi}) = P(\text{Roi T}) + P(\text{Roi C}) + P(\text{Roi Co}) + P(\text{Roi P}) = 4 \times \frac{1}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
La probabilité de tirer un roi est \(\frac{1}{8}\)
• Équiprobabilité : Chaque carte a la même probabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Simplification : \(\frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
Équiprobabilité : Chaque boule a la même probabilité d'être tirée.
Urné contient : 5 rouges + 3 vertes + 2 bleues = 10 boules
Donc Card(Ω) = 10
Issues favorables : boules rouges = 5
\(P(\text{rouge}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
Le tirage est "au hasard", ce qui implique que chaque boule a la même chance d'être sélectionnée
Chaque boule a une probabilité de \(\frac{1}{10}\), donc :
\(P(\text{rouge}) = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{1}{2}\)
• Équiprobabilité : "Au hasard" implique équiprobabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Simplification : \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
Équiprobabilité : Chaque carte du jeu de 52 cartes a la même probabilité.
Un jeu de 52 cartes standard
Donc Card(Ω) = 52
Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes :
{As de Trèfle, As de Carreau, As de Cœur, As de Pique}
Issues favorables : 4 as, donc Card(A) = 4
\(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
Chaque carte a une probabilité de \(\frac{1}{52}\), donc :
\(P(\text{as}) = 4 \times \frac{1}{52} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
La probabilité de tirer un as est \(\frac{1}{13}\)
• Équiprobabilité : Chaque carte a la même probabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Simplification : \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
Équiprobabilité : Chaque couple de résultats a la même probabilité.
Chaque dé peut donner 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Donc 6 × 6 = 36 couples possibles
Card(Ω) = 36
Les doubles sont : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
Issues favorables : 6 doubles, donc Card(A) = 6
\(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
Chaque couple a une probabilité de \(\frac{1}{36}\), donc :
\(P(\text{double}) = 6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La probabilité d'obtenir un double est \(\frac{1}{6}\)
• Produit cartésien : 6² = 36 résultats possibles
• Équiprobabilité : Chaque couple a la même probabilité
• Simplification : \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
Équiprobabilité : Chaque élève a la même probabilité d'être choisi.
Classe de 30 élèves
Donc Card(Ω) = 30
A = "Paul est choisi"
Il y a 1 seul Paul dans la classe
Donc Card(A) = 1
\(P(A) = \frac{1}{30}\)
Chaque élève a une probabilité de \(\frac{1}{30}\) d'être choisi
La probabilité de choisir Paul est \(\frac{1}{30}\)
• Équiprobabilité : "Au hasard" implique équiprobabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Unité : Il n'y a qu'un seul Paul
Équiprobabilité : Chaque chanson a la même probabilité d'être écoutée.
Playlist de 15 chansons
Donc Card(Ω) = 15
A = "la 7ème chanson est écoutée"
Il y a 1 seule chanson numéro 7
Donc Card(A) = 1
\(P(A) = \frac{1}{15}\)
Chaque chanson a une probabilité de \(\frac{1}{15}\) d'être choisie
La probabilité d'écouter la 7ème chanson est \(\frac{1}{15}\)
• Équiprobabilité : "Au hasard" implique équiprobabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Unité : Une seule chanson correspond
Équiprobabilité : Chaque secteur a la même probabilité d'être obtenu.
La roue a 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8
Donc Card(Ω) = 8
Dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, les nombres pairs sont : {2, 4, 6, 8}
Issues favorables : 4 nombres pairs, donc Card(A) = 4
\(P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Chaque secteur a une probabilité de \(\frac{1}{8}\), donc :
\(P(\text{pair}) = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
La probabilité d'obtenir un nombre pair est \(\frac{1}{2}\)
• Équiprobabilité : Secteurs égaux impliquent équiprobabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Simplification : \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Équiprobabilité : Chaque jeton a la même probabilité d'être tiré.
4 jetons numérotés de 1 à 4
Donc Card(Ω) = 4
Dans {1, 2, 3, 4}, les numéros ≤ 3 sont : {1, 2, 3}
Issues favorables : 3 jetons, donc Card(A) = 3
\(P(A) = \frac{3}{4}\)
Chaque jeton a une probabilité de \(\frac{1}{4}\), donc :
\(P(\leq 3) = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
La probabilité de tirer un jeton avec un numéro ≤ 3 est \(\frac{3}{4}\)
• Équiprobabilité : "Au hasard" implique équiprobabilité
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Ensemble : {1, 2, 3} satisfait la condition
