Événement contraire : \(\overline{A} = \text{"ne pas obtenir un 6"}\) est le contraire de \(A = \text{"obtenir un 6"}\).
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
A = "obtenir un 6" lors du lancer d'un dé équilibré
Dans un dé équilibré, chaque face a la même probabilité \(\frac{1}{6}\)
Donc \(P(A) = \frac{1}{6}\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6}\)
\(P(\overline{A}) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1\) ✓
La probabilité de ne pas obtenir un 6 est \(\frac{5}{6}\)
• Propriété des événements contraires : \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Équiprobabilité : Chaque face du dé a probabilité \(\frac{1}{6}\)
Événements contraires : Pile et face sont des événements contraires.
A = "obtenir pile"
\(\overline{A}\) = "obtenir face"
\(P(\overline{A}) = 0.5\)
\(P(A) = 1 - P(\overline{A})\)
\(P(A) = 1 - 0.5 = 0.5\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.5 + 0.5 = 1\) ✓
La probabilité d'obtenir pile est 0.5
• Événements contraires : Pile et face sont contraires
• Formule du contraire : \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\)
• Équiprobabilité : Pour une pièce équilibrée, \(P(\text{pile}) = P(\text{face}) = 0.5\)
Événement contraire : \(\overline{A} = \text{"ne pas tirer un as"}\) est le contraire de \(A = \text{"tirer un as"}\).
A = "tirer un as" dans un jeu de 32 cartes
Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 as
Donc \(P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{8}\)
\(P(\overline{A}) = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = \frac{8}{8} = 1\) ✓
La probabilité de ne pas tirer un as est \(\frac{7}{8}\)
• Événements contraires : "Tirer un as" et "ne pas tirer un as" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(\frac{4}{32} = \frac{1}{8}\) et \(\frac{7}{8}\) par soustraction
Événement contraire : \(\overline{A} = \text{"ne pas tirer une boule rouge"}\) est le contraire de \(A = \text{"tirer une boule rouge"}\).
Urné contient : 5 boules rouges + 3 boules vertes = 8 boules au total
A = "tirer une boule rouge"
\(P(A) = \frac{\text{boules rouges}}{\text{total des boules}} = \frac{5}{8}\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{8}\)
\(P(\overline{A}) = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1\) ✓
La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est \(\frac{3}{8}\)
• Événements contraires : "Tirer rouge" et "ne pas tirer rouge" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(\frac{5}{8}\) et \(\frac{3}{8}\) respectivement
Événements contraires : "Réussir" et "Échouer" sont des événements contraires.
A = "réussir l'examen"
\(\overline{A}\) = "échouer à l'examen"
\(P(A) = 0.75\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\overline{A}) = 1 - 0.75 = 0.25\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.75 + 0.25 = 1\) ✓
La probabilité qu'il échoue est 0.25
• Événements contraires : "Réussir" et "Échouer" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(1 - 0.75 = 0.25\)
Événement contraire : Utiliser l'événement contraire pour simplifier le calcul.
A = "obtenir une somme strictement inférieure à 12"
\(\overline{A}\) = "obtenir une somme supérieure ou égale à 12" = "obtenir une somme de 12"
Seul le couple (6,6) donne une somme de 12
Donc \(P(\overline{A}) = \frac{1}{36}\) (car 36 résultats possibles)
\(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{36}\)
\(P(A) = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = \frac{35}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1\) ✓
La probabilité d'obtenir une somme strictement inférieure à 12 est \(\frac{35}{36}\)
• Stratégie du contraire : Plus simple de compter les cas défavorables
• Formule du contraire : \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\)
• Calcul : \(\frac{35}{36}\) cas favorables sur 36
Événements contraires : "Aimer les maths" et "ne pas aimer les maths" sont contraires.
A = "aimer les maths"
\(\overline{A}\) = "ne pas aimer les maths"
\(P(A) = 0.4\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\overline{A}) = 1 - 0.4 = 0.6\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.4 + 0.6 = 1\) ✓
La probabilité qu'il n'aime pas les maths est 0.6
• Événements contraires : "Aimer" et "ne pas aimer" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(1 - 0.4 = 0.6\)
Événements contraires : "Être une ballade" et "ne pas être une ballade" sont contraires.
A = "être une ballade"
\(\overline{A}\) = "ne pas être une ballade"
\(P(A) = 0.3\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.3 + 0.7 = 1\) ✓
La probabilité qu'elle ne soit pas une ballade est 0.7
• Événements contraires : "Être ballade" et "ne pas être ballade" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(1 - 0.3 = 0.7\)
Événements contraires : "Pleuvoir" et "ne pas pleuvoir" sont contraires.
A = "il pleut demain"
\(\overline{A}\) = "il ne pleut pas demain"
\(P(A) = 0.2\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\overline{A}) = 1 - 0.2 = 0.8\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.2 + 0.8 = 1\) ✓
La probabilité qu'il ne pleuve pas est 0.8
• Événements contraires : "Pleuvoir" et "ne pas pleuvoir" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(1 - 0.2 = 0.8\)
Événements contraires : "Tirer un trèfle" et "ne pas tirer un trèfle" sont contraires.
A = "tirer un trèfle"
\(\overline{A}\) = "ne pas tirer un trèfle"
\(P(A) = 0.25\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\overline{A}) = 1 - 0.25 = 0.75\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.25 + 0.75 = 1\) ✓
La probabilité de ne pas tirer un trèfle est 0.75
• Événements contraires : "Tirer trèfle" et "ne pas tirer trèfle" sont contraires
• Formule du contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Calcul : \(1 - 0.25 = 0.75\)
