Probabilités opposées – somme | Statistiques et probabilités - Seconde
Introduction aux probabilités opposées
Découvrez la relation entre un événement et son événement contraire
Définition des probabilités opposées
Événement contraire et probabilité opposée
Soit A un événement d'une expérience aléatoire. L'événement contraire de A, noté Ā (lire "A barre"), est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
Cette relation est fondamentale en probabilité : la somme des probabilités d'un événement et de son contraire est toujours égale à 1.
Propriétés fondamentales
Relations importantes
2 Cela signifie que A et Ā sont incompatibles et que leur union forme l'événement certain
3 Ainsi : \( A \cup \bar{A} = \Omega \) (événement certain)
2 Si on connaît P(Ā), alors : \( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
3 Cette propriété est très utile pour simplifier certains calculs
Exemples de base
Applications concrètes
On lance un dé équilibré à 6 faces.
- Soit A = "obtenir un 6"
- P(A) = 1/6
- Soit Ā = "ne pas obtenir un 6"
- P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 = 5/6
Vérification : P(A) + P(Ā) = 1/6 + 5/6 = 1 ✓
On lance une pièce équilibrée.
- Soit B = "obtenir pile"
- P(B) = 1/2
- Soit B̄ = "obtenir face"
- P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2
Vérification : P(B) + P(B̄) = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
Utilité pratique de la relation
Simplification des calculs
Il est souvent plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire :
- 1 Lorsque l'événement A a beaucoup de cas favorables
- 2 Lorsque l'événement contraire Ā a peu de cas favorables
- 3 Exemple : "obtenir au moins un 6 en lançant 3 dés"
Calculer la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant 3 dés.
- Soit A = "obtenir au moins un 6"
- Calculer directement P(A) est complexe
- Soit Ā = "ne pas obtenir de 6"
- Pour chaque dé : P(ne pas 6) = 5/6
- Pour 3 dés : P(Ā) = (5/6)³ = 125/216
- Donc : P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 125/216 = 91/216
Somme des probabilités
Somme dans l'ensemble des événements
Si les événements A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers Ω (c'est-à-dire qu'ils sont deux à deux incompatibles et que leur union est Ω), alors :
Ceci généralise la relation P(A) + P(Ā) = 1.
En lançant un dé équilibré, les événements :
- A₁ = "obtenir 1", P(A₁) = 1/6
- A₂ = "obtenir 2", P(A₂) = 1/6
- A₃ = "obtenir 3", P(A₃) = 1/6
- A₄ = "obtenir 4", P(A₄) = 1/6
- A₅ = "obtenir 5", P(A₅) = 1/6
- A₆ = "obtenir 6", P(A₆) = 1/6
La somme : 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 ✓
Exemple avec des cartes
Tirage dans un jeu de cartes
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer une carte qui n'est pas un as ?
2 P(A) = 4/32 = 1/8 (il y a 4 as dans un jeu de 32 cartes)
3 Soit Ā = "ne pas tirer un as" (c'est ce que l'on cherche)
4 P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/8 = 7/8
5 Donc : P(ne pas tirer un as) = 7/8
Exemple avec des boules dans une urne
Composition d'une urne
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard.
- Total de boules : 5 + 3 + 2 = 10
- Soit A = "tirer une boule rouge"
- P(A) = 5/10 = 1/2
- Soit Ā = "ne pas tirer une boule rouge"
- P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2
- Vérification : P(Ā) = P("tirer bleue ou verte") = (3+2)/10 = 5/10 = 1/2 ✓
Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule bleue ?
- Soit B = "tirer une boule bleue"
- P(B) = 3/10
- Soit B̄ = "ne pas tirer une boule bleue"
- P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 3/10 = 7/10
Vérification : P(B̄) = P("rouge ou verte") = (5+2)/10 = 7/10 ✓
Exercice d'application
Problème complet
Dans une classe de 30 élèves, 18 élèves pratiquent le football, 10 élèves pratiquent le tennis et 5 élèves pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard.
1. Calculer la probabilité que l'élève pratique le football.
2. Calculer la probabilité que l'élève ne pratique pas le football.
3. Calculer la probabilité que l'élève pratique au moins un des deux sports.
4. En déduire la probabilité que l'élève ne pratique aucun des deux sports.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Total d'élèves : 30
- Football : 18 élèves
- Tennis : 10 élèves
- Les deux sports : 5 élèves
Utilisons la formule : |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
Élèves pratiquant au moins un sport = 18 + 10 - 5 = 23 élèves
Élèves ne pratiquant aucun sport = 30 - 23 = 7 élèves
Soit A = "l'élève pratique le football"
- Effectif favorable : 18 élèves
- Effectif total : 30 élèves
- P(A) = 18/30 = 3/5 = 0.6
Soit Ā = "l'élève ne pratique pas le football"
Méthode 1 : P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 3/5 = 2/5 = 0.4
Méthode 2 : Effectif favorable = 30 - 18 = 12 élèves
- P(Ā) = 12/30 = 2/5 = 0.4
Soit C = "l'élève pratique au moins un des deux sports"
- Effectif favorable : 23 élèves
- Effectif total : 30 élèves
- P(C) = 23/30 ≈ 0.767
Soit C̄ = "l'élève ne pratique aucun des deux sports"
Utilisons la relation : P(C) + P(C̄) = 1
- P(C̄) = 1 - P(C) = 1 - 23/30 = 7/30 ≈ 0.233
Vérification : Effectif favorable = 7 élèves
- P(C̄) = 7/30 ≈ 0.233 ✓
Résumé
Points clés
- Pour tout événement A : \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \)
- Donc : \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \) et \( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
- Si A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers : \( \sum_{i=1}^{n} P(A_i) = 1 \)
- La somme de toutes les probabilités possibles est égale à 1
- Il est parfois plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire
- Cela permet de simplifier certains calculs complexes
- Surtout utile pour les événements du type "au moins un"
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences