Diviseurs d'un Nombre
Diviseurs de 12
1, 2, 3, 4, 6, 12
Car:
12 = 1×12
12 = 2×6
12 = 3×4
Car:
12 = 1×12
12 = 2×6
12 = 3×4
Diviseurs de 18
1, 2, 3, 6, 9, 18
Car:
18 = 1×18
18 = 2×9
18 = 3×6
Car:
18 = 1×18
18 = 2×9
18 = 3×6
Diviseurs de 20
1, 2, 4, 5, 10, 20
Car:
20 = 1×20
20 = 2×10
20 = 4×5
Car:
20 = 1×20
20 = 2×10
20 = 4×5
Diviseurs de 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Car:
24 = 1×24
24 = 2×12
24 = 3×8
24 = 4×6
Car:
24 = 1×24
24 = 2×12
24 = 3×8
24 = 4×6
Définition
a divise b si ∃k ∈ ℕ tel que b = a×k
Exemple: 3 divise 12 car 12 = 3×4
PGCD - Plus Grand Commun Diviseur
Méthode des Diviseurs Communs
Diviseurs de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs communs: 1, 2, 3, 6
PGCD(12, 18) = 6
Diviseurs de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs communs: 1, 2, 3, 6
PGCD(12, 18) = 6
Algorithme d'Euclide
PGCD(48, 18):
48 = 2×18 + 12
18 = 1×12 + 6
12 = 2×6 + 0
PGCD(48, 18) = 6
48 = 2×18 + 12
18 = 1×12 + 6
12 = 2×6 + 0
PGCD(48, 18) = 6
Méthode par Décomposition
12 = 2² × 3¹
18 = 2¹ × 3²
PGCD(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 6
18 = 2¹ × 3²
PGCD(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 6
Propriétés et Applications
PGCD(a,b) ≤ min(a,b)
PGCD(a,a) = a
PGCD(a,1) = 1
PGCD(a,b) divise a et b
PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b
Exemples de Calculs
PGCD(15, 25) = 5
PGCD(14, 21) = 7
PGCD(17, 19) = 1 (premiers entre eux)
PGCD(36, 48) = 12
PGCD(14, 21) = 7
PGCD(17, 19) = 1 (premiers entre eux)
PGCD(36, 48) = 12
Erreurs Fréquentes
⚠️ Confondre PGCD avec PPCM
⚠️ Ne pas chercher le plus grand diviseur
⚠️ Oublier que 1 est toujours diviseur
Applications Pratiques
- Simplification de fractions
- Problèmes de partages équitables
- Calculs avec fractions
- Équations diophantiennes
- Arithmétique modulaire
