Nombres Premiers
Définition
Un nombre premier a exactement
2 diviseurs: 1 et lui-même
(et > 1)
2 diviseurs: 1 et lui-même
(et > 1)
Premiers ≤ 30
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Exemples
2 (pair unique)
3, 5, 7, 11, 13... (impairs)
97, 101, 103... (grands)
3, 5, 7, 11, 13... (impairs)
97, 101, 103... (grands)
Non Premiers
1 (pas premier)
4 = 2×2
6 = 2×3
8 = 2×4
9 = 3×3
4 = 2×2
6 = 2×3
8 = 2×4
9 = 3×3
Critères de Primalité
Pour tester si n est premier:
- Tester divisibilité par 2
- Puis par nombres impairs ≤ √n
- Si aucun diviseur trouvé → premier
- Tester divisibilité par 2
- Puis par nombres impairs ≤ √n
- Si aucun diviseur trouvé → premier
Factorisation en Nombres Premiers
Méthode Arborescente
60 = 4 × 15
= 2² × 3 × 5
60
├── 2
└── 30
├── 2
└── 15
├── 3
└── 5
= 2² × 3 × 5
60
├── 2
└── 30
├── 2
└── 15
├── 3
└── 5
Division Successive
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Donc: 60 = 2² × 3 × 5
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Donc: 60 = 2² × 3 × 5
Théorème Fondamental
Tout entier > 1 s'écrit de façon unique
comme produit de nombres premiers
(à l'ordre près)
comme produit de nombres premiers
(à l'ordre près)
Propriétés et Applications
1 n'est pas premier
2 est le seul premier pair
Il existe une infinité de nombres premiers
Unicité de la factorisation
Base de la cryptographie moderne
Exemples de Factorisations
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
50 = 2 × 5²
100 = 2² × 5²
36 = 2² × 3²
50 = 2 × 5²
100 = 2² × 5²
Erreurs Fréquentes
⚠️ Considérer 1 comme premier
⚠️ Oublier que 2 est premier
⚠️ Arrêter la factorisation trop tôt
Applications Pratiques
- Simplification de fractions
- Calcul de PGCD/PPCM
- Cryptographie RSA
- Théorie des nombres
- Algorithmes de tri
