Décomposer un nombre en facteurs premiers consiste à l'écrire comme un produit de nombres premiers.
- Diviser le nombre par le plus petit nombre premier possible
- Répéter le processus avec le quotient obtenu
- Continuer jusqu'à ce que le quotient soit 1
- Regrouper les facteurs identiques sous forme de puissance
24 ÷ 2 = 12
Donc 24 = 2 × 12
12 ÷ 2 = 6
Donc 24 = 2 × 2 × 6
6 ÷ 2 = 3
Donc 24 = 2 × 2 × 2 × 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 24 = 2 × 2 × 2 × 3 × 1
2 × 2 × 2 = 2³
Donc 24 = 2³ × 3
24 = 2³ × 3
• Théorème fondamental : Tout entier > 1 admet une unique décomposition en facteurs premiers
• Méthodologie : Diviser successivement par les plus petits nombres premiers
• Notation : Regrouper les facteurs identiques en puissances
• Vérification : 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 ✓
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Calculer √17 ≈ 4.12
- Tester la divisibilité par tous les nombres premiers ≤ √17
- Les nombres premiers ≤ 4.12 sont : 2 et 3
- Si aucun ne divise 17, alors 17 est premier
√17 ≈ 4.12, donc on teste les diviseurs jusqu'à 4
17 est impair, donc 17 ÷ 2 = 8.5 → non entier
Donc 2 ne divise pas 17
17 ÷ 3 = 5.67... → non entier
Donc 3 ne divise pas 17
4 n'est pas premier, mais on vérifie quand même :
17 ÷ 4 = 4.25 → non entier
Aucun nombre premier ≤ √17 ne divise 17
Donc 17 est premier
Oui, 17 est un nombre premier
• Critère de primalité : Pour tester si n est premier, il suffit de tester les diviseurs ≤ √n
• Optimisation : On ne teste que les nombres premiers ≤ √n
• Définition : 17 n'admet que deux diviseurs : 1 et 17
Écrire un nombre comme produit de nombres premiers : n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ.
60 ÷ 2 = 30
Donc 60 = 2 × 30
30 ÷ 2 = 15
Donc 60 = 2 × 2 × 15 = 2² × 15
15 ÷ 3 = 5
Donc 60 = 2² × 3 × 5
5 ÷ 5 = 1
Donc 60 = 2² × 3 × 5 × 1
60 = 2² × 3 × 5
2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60 ✓
60 = 2² × 3 × 5
• Méthode systématique : Diviser successivement par les plus petits nombres premiers
• Regroupement : Les facteurs identiques sont regroupés en puissances
• Ordre : On place généralement les plus petits facteurs en premier
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux (PGCD = 1).
- Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers
- Repérer les facteurs communs
- Annuler les facteurs communs
- Multiplier les facteurs restants
48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 48 = 2⁴ × 3
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 36 = 2² × 3²
48/36 = (2⁴ × 3)/(2² × 3²)
48/36 = (2⁴ × 3)/(2² × 3²) = (2² × 2² × 3)/(2² × 3 × 3)
On annule 2² et 3 :
48/36 = (2²)/3 = 4/3
4 et 3 sont premiers entre eux (aucun facteur commun)
Donc 4/3 est irréductible
48/36 = 4/3
• Simplification : Annuler les facteurs communs du numérateur et du dénominateur
• Factorisation : Permet de visualiser clairement les facteurs communs
• Irréductibilité : Une fraction est irréductible si PGCD(num, den) = 1
Écriture unique d'un entier > 1 comme produit de puissances de nombres premiers : n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ.
100 ÷ 2 = 50
Donc 100 = 2 × 50
50 ÷ 2 = 25
Donc 100 = 2 × 2 × 25 = 2² × 25
25 ÷ 5 = 5
Donc 100 = 2² × 5 × 5 = 2² × 5²
5 ÷ 5 = 1
Donc 100 = 2² × 5² × 1
100 = 2² × 5²
2² × 5² = 4 × 25 = 100 ✓
100 = 2² × 5²
• Théorème fondamental : La décomposition en facteurs premiers est unique (à l'ordre près)
• Méthodologie : Diviser successivement par les plus petits nombres premiers
• Notation : Regrouper les facteurs identiques en puissances
Pour déterminer si un nombre n est premier, il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers ≤ √n.
√29 ≈ 5.39, donc on teste les diviseurs jusqu'à 5
29 est impair → 29 ÷ 2 = 14.5 → non entier
Donc 2 ne divise pas 29
29 ÷ 3 = 9.67... → non entier
Donc 3 ne divise pas 29
29 ÷ 5 = 5.8 → non entier
Donc 5 ne divise pas 29
Aucun nombre premier ≤ √29 ne divise 29
Donc 29 est premier
Les seuls diviseurs de 29 sont 1 et 29
Donc 29 est premier
Oui, 29 est un nombre premier
• Critère de primalité : Tester les diviseurs premiers ≤ √n
• Optimisation : On ne teste que les nombres premiers
• Définition : 29 n'admet que deux diviseurs : 1 et 29
Écrire 84 comme produit de nombres premiers : 84 = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ.
84 ÷ 2 = 42
Donc 84 = 2 × 42
42 ÷ 2 = 21
Donc 84 = 2 × 2 × 21 = 2² × 21
21 ÷ 3 = 7
Donc 84 = 2² × 3 × 7
7 ÷ 7 = 1
Donc 84 = 2² × 3 × 7 × 1
84 = 2² × 3 × 7
2² × 3 × 7 = 4 × 3 × 7 = 84 ✓
84 = 2² × 3 × 7
• Méthode systématique : Diviser successivement par les plus petits nombres premiers
• Regroupement : Les facteurs identiques sont regroupés en puissances
• Unicité : La décomposition est unique (à l'ordre près)
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux (PGCD = 1).
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 72 = 2³ × 3²
54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 54 = 2 × 3³
72/54 = (2³ × 3²)/(2 × 3³)
72/54 = (2³ × 3²)/(2 × 3³) = (2² × 2 × 3²)/(2 × 3² × 3)
On annule 2 et 3² :
72/54 = (2²)/3 = 4/3
4 et 3 sont premiers entre eux (aucun facteur commun)
Donc 4/3 est irréductible
72/54 = 4/3
• Simplification : Annuler les facteurs communs du numérateur et du dénominateur
• Factorisation : Permet de visualiser clairement les facteurs communs
• Irréductibilité : Une fraction est irréductible si PGCD(num, den) = 1
Écriture unique d'un entier > 1 comme produit de puissances de nombres premiers : n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ.
120 ÷ 2 = 60
Donc 120 = 2 × 60
60 ÷ 2 = 30
Donc 120 = 2 × 2 × 30 = 2² × 30
30 ÷ 2 = 15
Donc 120 = 2² × 2 × 15 = 2³ × 15
15 ÷ 3 = 5
Donc 120 = 2³ × 3 × 5
5 ÷ 5 = 1
Donc 120 = 2³ × 3 × 5 × 1
120 = 2³ × 3 × 5
2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120 ✓
120 = 2³ × 3 × 5
• Théorème fondamental : La décomposition en facteurs premiers est unique (à l'ordre près)
• Méthodologie : Diviser successivement par les plus petits nombres premiers
• Notation : Regrouper les facteurs identiques en puissances
Si n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ, alors les diviseurs de n sont de la forme p₁^b₁ × p₂^b₂ × ... × pₖ^bₖ avec 0 ≤ bᵢ ≤ aᵢ.
- Décomposer le nombre en facteurs premiers
- Utiliser la formule des diviseurs à partir de la décomposition
- Générer tous les combinaisons possibles
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Donc 36 = 2² × 3²
Les diviseurs sont de la forme 2^a × 3^b avec 0 ≤ a ≤ 2 et 0 ≤ b ≤ 2
Possibilités :
- a = 0, b = 0 : 2⁰ × 3⁰ = 1
- a = 1, b = 0 : 2¹ × 3⁰ = 2
- a = 2, b = 0 : 2² × 3⁰ = 4
- a = 0, b = 1 : 2⁰ × 3¹ = 3
- a = 1, b = 1 : 2¹ × 3¹ = 6
- a = 2, b = 1 : 2² × 3¹ = 12
- a = 0, b = 2 : 2⁰ × 3² = 9
- a = 1, b = 2 : 2¹ × 3² = 18
- a = 2, b = 2 : 2² × 3² = 36
En ordre croissant : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Chaque nombre de la liste divise 36 sans reste :
- 36 ÷ 1 = 36
- 36 ÷ 2 = 18
- 36 ÷ 3 = 12
- 36 ÷ 4 = 9
- 36 ÷ 6 = 6
- 36 ÷ 9 = 4
- 36 ÷ 12 = 3
- 36 ÷ 18 = 2
- 36 ÷ 36 = 1
Les diviseurs de 36 sont : {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
• Formule des diviseurs : Si n = p₁^a₁ × p₂^a₂, alors les diviseurs sont p₁^b₁ × p₂^b₂ avec 0 ≤ b₁ ≤ a₁ et 0 ≤ b₂ ≤ a₂
• Nombre de diviseurs : (a₁+1) × (a₂+1) × ... = (2+1) × (2+1) = 9 diviseurs
• Application : La factorisation permet de trouver tous les diviseurs systématiquement
