\( |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \)
La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite numérique.
- Si le nombre est positif ou nul, sa valeur absolue est le nombre lui-même
- Si le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé
- La valeur absolue est toujours positive ou nulle
7 > 0, donc selon la définition : |7| = 7
La distance de 7 à 0 est 7 unités
-5 < 0, donc selon la définition : |-5| = -(-5) = 5
La distance de -5 à 0 est 5 unités
0 = 0, donc selon la définition : |0| = 0
La distance de 0 à 0 est 0 unité
|7| = 7 ≥ 0 ✓
|-5| = 5 ≥ 0 ✓
|0| = 0 ≥ 0 ✓
|7| = 7, |-5| = 5, |0| = 0
• Définition : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0
• Propriété fondamentale : |x| ≥ 0 pour tout x réel
• Distance : |x| représente la distance de x à 0 sur la droite numérique
L'équation |x| = a avec a > 0 admet deux solutions : x = a et x = -a.
- Vérifier que le membre de droite est positif
- Utiliser la propriété : |x| = a ⟺ x = a ou x = -a
- Conclure avec l'ensemble des solutions
On cherche les réels x tels que |x| = 3
Cela signifie que la distance de x à 0 est égale à 3
Sur la droite numérique, il y a deux points situés à une distance de 3 unités de 0 :
- Le point d'abscisse 3
- Le point d'abscisse -3
Pour x = 3 : |3| = 3 ✓
Pour x = -3 : |-3| = -(-3) = 3 ✓
Les deux solutions vérifient l'équation
S = {-3, 3}
• Propriété : |x| = a (a > 0) ⟺ x = a ou x = -a
• Interprétation géométrique : |x| = a signifie que x est à distance a de 0
• Vérification : Toujours substituer les solutions trouvées dans l'équation initiale
Pour tout nombre réel x, |x| ≥ 0. La valeur absolue est toujours positive ou nulle.
- Observer le membre de droite de l'équation
- Comparer avec la propriété fondamentale |x| ≥ 0
- Conclure sur l'existence de solutions
On cherche les réels x tels que |x| = -2
On a |x| = -2
Pour tout réel x, |x| ≥ 0
Mais ici, on veut |x| = -2
Or -2 < 0
On voudrait que |x| = -2 < 0
Ceci contredit la propriété fondamentale |x| ≥ 0
Il n'existe aucun réel x tel que |x| = -2
S = ∅ (ensemble vide)
• Propriété fondamentale : |x| ≥ 0 pour tout x réel
• Conséquence : |x| = a n'a pas de solution si a < 0
• Logique : Une distance ne peut pas être négative
On utilise la propriété : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B.
- Poser X = x + 2
- Résoudre |X| = 5
- Revenir à x en remplaçant X par x + 2
L'équation devient |X| = 5
5 > 0, donc |X| = 5 ⟺ X = 5 ou X = -5
Soit x + 2 = 5, donc x = 5 - 2 = 3
Soit x + 2 = -5, donc x = -5 - 2 = -7
Pour x = 3 : |3 + 2| = |5| = 5 ✓
Pour x = -7 : |-7 + 2| = |-5| = 5 ✓
Les deux solutions vérifient l'équation
S = {-7, 3}
• Propriété générale : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B
• Substitution : Poser une variable intermédiaire pour simplifier
• Vérification : Toujours contrôler les solutions trouvées
La valeur absolue |a - b| représente la distance entre les réels a et b sur la droite numérique.
- Calculer l'expression à l'intérieur de la valeur absolue
- Déterminer le signe du résultat
- Appliquer la définition de la valeur absolue
3 - 7 = -4
Comme -4 < 0, alors |3 - 7| = |-4| = -(-4) = 4
π ≈ 3.14, donc π > 3
Donc π - 3 > 0
Donc |π - 3| = π - 3
√2 ≈ 1.41, donc √2 < 2
Donc √2 - 2 < 0
Donc |√2 - 2| = -(√2 - 2) = 2 - √2
Toutes les valeurs obtenues sont positives ou nulles
|3 - 7| = 4 ≥ 0 ✓
|π - 3| = π - 3 > 0 ✓
|√2 - 2| = 2 - √2 > 0 ✓
|3 - 7| = 4, |π - 3| = π - 3, |√2 - 2| = 2 - √2
• Définition : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0
• Interprétation géométrique : |a - b| est la distance entre a et b
• Signe : Déterminer le signe de l'expression avant d'appliquer la valeur absolue
On utilise la propriété : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B.
On a |2x - 1| = 7
Ici A = 2x - 1 et B = 7
Comme 7 > 0, la propriété s'applique
|2x - 1| = 7 ⟺ 2x - 1 = 7 ou 2x - 1 = -7
2x - 1 = 7
2x = 7 + 1 = 8
x = 8/2 = 4
2x - 1 = -7
2x = -7 + 1 = -6
x = -6/2 = -3
Pour x = 4 : |2×4 - 1| = |8 - 1| = |7| = 7 ✓
Pour x = -3 : |2×(-3) - 1| = |-6 - 1| = |-7| = 7 ✓
S = {-3, 4}
• Propriété générale : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B
• Méthodologie : Isoler l'expression dans la valeur absolue
• Vérification : Contrôler chaque solution dans l'équation originale
Pour tous réels a et b, on a : |a + b| ≤ |a| + |b|. Cette inégalité s'appelle l'inégalité triangulaire.
- Calculer |a + b| et |a| + |b| pour des exemples spécifiques
- Identifier les cas d'égalité
- Comprendre l'interprétation géométrique
Exemple 1 : a = 3, b = 4
|a + b| = |3 + 4| = |7| = 7
|a| + |b| = |3| + |4| = 3 + 4 = 7
Donc |a + b| = |a| + |b| dans ce cas
Exemple 2 : a = 3, b = -4
|a + b| = |3 + (-4)| = |-1| = 1
|a| + |b| = |3| + |-4| = 3 + 4 = 7
Donc |a + b| = 1 < 7 = |a| + |b|
Pour tous réels a et b, on a : |a + b| ≤ |a| + |b|
L'égalité |a + b| = |a| + |b| est atteinte si et seulement si a et b sont de même signe (ou l'un des deux est nul)
On sait que -|a| ≤ a ≤ |a| et -|b| ≤ b ≤ |b|
En additionnant : -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|
Donc |a + b| ≤ |a| + |b|
Pour tous réels a et b : |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
L'égalité est atteinte si et seulement si a et b sont de même signe
• Inégalité triangulaire : |a + b| ≤ |a| + |b|
• Cas d'égalité : |a + b| = |a| + |b| ⟺ ab ≥ 0 (même signe)
• Interprétation : La distance entre 0 et a+b est inférieure à la somme des distances
On doit simplifier une expression du type ||x| - 2| sachant que x > 2.
Si x > 2, alors x > 0
Donc |x| = x (car x ≥ 0)
||x| - 2| = |x - 2| (puisque |x| = x)
On sait que x > 2
Donc x - 2 > 0
Comme x - 2 > 0, alors |x - 2| = x - 2
||x| - 2| = x - 2
Prenons x = 3 > 2
||3| - 2| = |3 - 2| = |1| = 1
x - 2 = 3 - 2 = 1 ✓
Si x > 2, alors ||x| - 2| = x - 2
• Définition : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0
• Conditionnelle : Utiliser la condition donnée pour simplifier
• Hiérarchie : Évaluer de l'intérieur vers l'extérieur pour les valeurs absolues imbriquées
On utilise la propriété : |x| ≤ a (a > 0) ⟺ -a ≤ x ≤ a.
- Identifier la forme de l'inéquation
- Appliquer la propriété appropriée
- Exprimer la solution sous forme d'intervalle
On a |x| ≤ 4
C'est une inéquation de la forme |x| ≤ a avec a = 4 > 0
|x| ≤ 4 ⟺ -4 ≤ x ≤ 4
Cela signifie que x est à une distance inférieure ou égale à 4 de 0
Sur la droite numérique, cela correspond à l'intervalle [-4, 4]
Pour x = -4 : |-4| = 4 ≤ 4 ✓
Pour x = 0 : |0| = 0 ≤ 4 ✓
Pour x = 4 : |4| = 4 ≤ 4 ✓
Pour x = 5 : |5| = 5 > 4 ✗ (donc 5 ∉ S)
S = [-4, 4] ou x ∈ [-4, 4]
• Propriété générale : |x| ≤ a (a > 0) ⟺ -a ≤ x ≤ a
• Interprétation géométrique : |x| ≤ a signifie que x est dans l'intervalle [-a, a]
• Distance : |x| ≤ a signifie que la distance de x à 0 est ≤ a
On utilise la propriété : |A| = |B| ⟺ A = B ou A = -B.
|x - 3| = |2x + 1| ⟺ x - 3 = 2x + 1 ou x - 3 = -(2x + 1)
x - 3 = 2x + 1
x - 2x = 1 + 3
-x = 4
x = -4
x - 3 = -(2x + 1)
x - 3 = -2x - 1
x + 2x = -1 + 3
3x = 2
x = 2/3
Pour x = -4 :
|x - 3| = |-4 - 3| = |-7| = 7
|2x + 1| = |2×(-4) + 1| = |-8 + 1| = |-7| = 7
Donc |x - 3| = |2x + 1| ✓
Pour x = 2/3 :
|x - 3| = |2/3 - 3| = |2/3 - 9/3| = |-7/3| = 7/3
|2x + 1| = |2×(2/3) + 1| = |4/3 + 1| = |4/3 + 3/3| = |7/3| = 7/3
Donc |x - 3| = |2x + 1| ✓
Les deux solutions vérifient l'équation
S = {-4, 2/3}
• Propriété générale : |A| = |B| ⟺ A = B ou A = -B
• Méthodologie : Résoudre les deux équations séparément
• Vérification : Toujours contrôler les solutions trouvées