On utilise la propriété : |x| = a (a > 0) ⟺ x = a ou x = -a.
- Vérifier que le second membre est strictement positif
- Appliquer la propriété : |x| = a ⟺ x = a ou x = -a
- Écrire l'ensemble des solutions
- Effectuer une vérification
On a |x| = 5
Le second membre est 5 > 0, donc la propriété s'applique
|x| = 5 ⟺ x = 5 ou x = -5
Pour x = 5 : |5| = 5 ✓
Pour x = -5 : |-5| = 5 ✓
Les deux solutions vérifient l'équation
S = {-5, 5}
• Propriété fondamentale : |x| = a (a > 0) ⟺ x = a ou x = -a
• Interprétation géométrique : |x| = 5 signifie que x est à distance 5 de 0
• Symétrie : Les solutions sont symétriques par rapport à 0
Pour tout nombre réel x, |x| ≥ 0. La valeur absolue est toujours positive ou nulle.
- Observer le second membre de l'équation
- Comparer avec la propriété fondamentale |x| ≥ 0
- Conclure sur l'existence de solutions
On a |x| = -3
Le second membre est -3 < 0
Pour tout réel x, |x| ≥ 0
Donc |x| ne peut pas être égal à -3
Il n'existe aucun réel x tel que |x| = -3
Une distance ne peut pas être négative
Donc |x| = -3 n'a pas de solution
S = ∅ (ensemble vide)
• Propriété fondamentale : |x| ≥ 0 pour tout x réel
• Conséquence : |x| = a n'a pas de solution si a < 0
• Logique : Une distance ne peut pas être négative
On utilise la propriété : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B.
- Poser une variable intermédiaire X = x - 2
- Résoudre |X| = 4
- Revenir à x en remplaçant X par x - 2
- Vérifier les solutions
L'équation devient |X| = 4
Comme 4 > 0, la propriété s'applique
|X| = 4 ⟺ X = 4 ou X = -4
Soit x - 2 = 4, donc x = 4 + 2 = 6
Soit x - 2 = -4, donc x = -4 + 2 = -2
Pour x = 6 : |6 - 2| = |4| = 4 ✓
Pour x = -2 : |-2 - 2| = |-4| = 4 ✓
Les deux solutions vérifient l'équation
S = {-2, 6}
• Propriété générale : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B
• Substitution : Poser une variable intermédiaire pour simplifier
• Vérification : Toujours contrôler les solutions trouvées
On utilise la propriété : |x| ≤ a (a > 0) ⟺ -a ≤ x ≤ a.
- Identifier la forme de l'inéquation
- Appliquer la propriété appropriée
- Exprimer la solution sous forme d'intervalle
- Effectuer une vérification
On a |x| ≤ 3
C'est une inéquation de la forme |x| ≤ a avec a = 3 > 0
|x| ≤ 3 ⟺ -3 ≤ x ≤ 3
Cela signifie que x est à une distance inférieure ou égale à 3 de 0
Sur la droite numérique, cela correspond à l'intervalle [-3, 3]
Pour x = -3 : |-3| = 3 ≤ 3 ✓
Pour x = 0 : |0| = 0 ≤ 3 ✓
Pour x = 3 : |3| = 3 ≤ 3 ✓
Pour x = 4 : |4| = 4 > 3 ✗ (donc 4 ∉ S)
S = [-3, 3] ou x ∈ [-3, 3]
• Propriété générale : |x| ≤ a (a > 0) ⟺ -a ≤ x ≤ a
• Interprétation géométrique : |x| ≤ a signifie que x est dans l'intervalle [-a, a]
• Distance : |x| ≤ a signifie que la distance de x à 0 est ≤ a
On utilise la propriété : |x| > a (a > 0) ⟺ x < -a ou x > a.
- Identifier la forme de l'inéquation
- Appliquer la propriété appropriée
- Exprimer la solution sous forme d'union d'intervalles
- Effectuer une vérification
On a |x| > 2
C'est une inéquation de la forme |x| > a avec a = 2 > 0
|x| > 2 ⟺ x < -2 ou x > 2
Cela signifie que x est à une distance strictement supérieure à 2 de 0
Sur la droite numérique, cela correspond à ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[
Pour x = -3 : |-3| = 3 > 2 ✓
Pour x = -2 : |-2| = 2 ≯ 2 ✗ (donc -2 ∉ S)
Pour x = 0 : |0| = 0 ≯ 2 ✗ (donc 0 ∉ S)
Pour x = 3 : |3| = 3 > 2 ✓
S = ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[ ou x ∈ ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[
• Propriété générale : |x| > a (a > 0) ⟺ x < -a ou x > a
• Interprétation géométrique : |x| > a signifie que x est à l'extérieur de [-a, a]
• Distance : |x| > a signifie que la distance de x à 0 est > a
On utilise la propriété : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B.
On a |2x + 1| = 7
Ici A = 2x + 1 et B = 7
Comme 7 > 0, la propriété s'applique
|2x + 1| = 7 ⟺ 2x + 1 = 7 ou 2x + 1 = -7
2x + 1 = 7
2x = 7 - 1 = 6
x = 6/2 = 3
2x + 1 = -7
2x = -7 - 1 = -8
x = -8/2 = -4
Pour x = 3 : |2×3 + 1| = |6 + 1| = |7| = 7 ✓
Pour x = -4 : |2×(-4) + 1| = |-8 + 1| = |-7| = 7 ✓
S = {-4, 3}
• Propriété générale : |A| = B (B > 0) ⟺ A = B ou A = -B
• Méthodologie : Isoler l'expression dans la valeur absolue
• Vérification : Contrôler chaque solution dans l'équation originale
On utilise la propriété : |A| ≤ B (B > 0) ⟺ -B ≤ A ≤ B.
|x + 3| ≤ 5 ⟺ -5 ≤ x + 3 ≤ 5
-5 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 5 - 3
-8 ≤ x ≤ 2
Cela signifie que x + 3 est dans l'intervalle [-5, 5]
Donc x est dans l'intervalle [-8, 2]
Pour x = -8 : |-8 + 3| = |-5| = 5 ≤ 5 ✓
Pour x = 0 : |0 + 3| = |3| = 3 ≤ 5 ✓
Pour x = 2 : |2 + 3| = |5| = 5 ≤ 5 ✓
Pour x = 3 : |3 + 3| = |6| = 6 > 5 ✗ (donc 3 ∉ S)
S = [-8, 2] ou x ∈ [-8, 2]
• Propriété générale : |A| ≤ B (B > 0) ⟺ -B ≤ A ≤ B
• Manipulation algébrique : Soustraire le même nombre à chaque membre
• Interprétation : |x + 3| ≤ 5 signifie que x est à distance ≤ 5 de -3
On utilise la propriété : |A| ≥ B (B > 0) ⟺ A ≤ -B ou A ≥ B.
|x - 1| ≥ 4 ⟺ x - 1 ≤ -4 ou x - 1 ≥ 4
x - 1 ≤ -4
x ≤ -4 + 1 = -3
x - 1 ≥ 4
x ≥ 4 + 1 = 5
x ≤ -3 ou x ≥ 5
Cela correspond à x ∈ ]-∞, -3] ∪ [5, +∞[
Pour x = -4 : |-4 - 1| = |-5| = 5 ≥ 4 ✓
Pour x = -3 : |-3 - 1| = |-4| = 4 ≥ 4 ✓
Pour x = 0 : |0 - 1| = |-1| = 1 ≱ 4 ✗ (donc 0 ∉ S)
Pour x = 5 : |5 - 1| = |4| = 4 ≥ 4 ✓
S = ]-∞, -3] ∪ [5, +∞[ ou x ∈ ]-∞, -3] ∪ [5, +∞[
• Propriété générale : |A| ≥ B (B > 0) ⟺ A ≤ -B ou A ≥ B
• Union d'intervalles : Les solutions sont à l'extérieur de [-B, B]
• Interprétation : |x - 1| ≥ 4 signifie que x est à distance ≥ 4 de 1
On utilise la propriété : |A| = |B| ⟺ A = B ou A = -B.
|x - 3| = |2x + 1| ⟺ x - 3 = 2x + 1 ou x - 3 = -(2x + 1)
x - 3 = 2x + 1
x - 2x = 1 + 3
-x = 4
x = -4
x - 3 = -(2x + 1)
x - 3 = -2x - 1
x + 2x = -1 + 3
3x = 2
x = 2/3
Pour x = -4 :
|x - 3| = |-4 - 3| = |-7| = 7
|2x + 1| = |2×(-4) + 1| = |-8 + 1| = |-7| = 7
Donc |x - 3| = |2x + 1| ✓
Pour x = 2/3 :
|x - 3| = |2/3 - 3| = |2/3 - 9/3| = |-7/3| = 7/3
|2x + 1| = |2×(2/3) + 1| = |4/3 + 1| = |4/3 + 3/3| = |7/3| = 7/3
Donc |x - 3| = |2x + 1| ✓
S = {-4, 2/3}
• Propriété générale : |A| = |B| ⟺ A = B ou A = -B
• Méthodologie : Résoudre les deux équations séparément
• Vérification : Toujours contrôler les solutions trouvées
On utilise la propriété : |A| ≤ B (B > 0) ⟺ -B ≤ A ≤ B.
|3x - 2| ≤ 8 ⟺ -8 ≤ 3x - 2 ≤ 8
-8 + 2 ≤ 3x - 2 + 2 ≤ 8 + 2
-6 ≤ 3x ≤ 10
-6/3 ≤ 3x/3 ≤ 10/3
-2 ≤ x ≤ 10/3
Cela signifie que 3x - 2 est dans l'intervalle [-8, 8]
Donc x est dans l'intervalle [-2, 10/3]
Pour x = -2 : |3×(-2) - 2| = |-6 - 2| = |-8| = 8 ≤ 8 ✓
Pour x = 0 : |3×0 - 2| = |-2| = 2 ≤ 8 ✓
Pour x = 10/3 : |3×(10/3) - 2| = |10 - 2| = |8| = 8 ≤ 8 ✓
Pour x = 4 : |3×4 - 2| = |12 - 2| = |10| = 10 > 8 ✗ (donc 4 ∉ S)
S = [-2, 10/3] ou x ∈ [-2, 10/3]
• Propriété générale : |A| ≤ B (B > 0) ⟺ -B ≤ A ≤ B
• Manipulation algébrique : Ajouter/soustraire/multiplier/diviser chaque membre
• Ordre des opérations : Respecter les règles de priorité et de manipulation des inégalités
